高维前缀和
高维前缀和
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一、概述
高维前缀和是个好东西，很多人把它归类为状态压缩\(DP\)，其实听说它是由\(FWT\)衍生出来的黑科技？
求x二进制下的超集或子集的所有状态之和怎么办？
（如\(0101\)超集为\(0101,1101,0111,1111\),子集为\(0101,0001,0100,0000\)）
高维前缀和可以把这个过程从\(2^n×2^n\)优化到\(n×2^n\)(\(2^n\)为最大值域范围)
二、原理
通过高维前缀和的枚举顺序，可以保证枚举到第\(i\)位的\(1\)，所有第\(i+1\)到末位的数的超集（子集）情况都被涵盖在内，具体原理理解请照代码手玩\(0-7\)（博主就是靠这个理解的，但是太懒不想做表了，毕竟还有辣么多东西还没学还没总结）
枚举超集
for(int j=0;j<n;j++)
for(int i=0;i<1<<n;i++)
if(!(i&(1<<j))) f[i]+=f[i|(1<<j)];
枚举子集
for(int j=0;j<n;j++)
for(int i=0;i<1<<n;i++)
if(i&(1<<j)) f[i]+=f[i^(1<<j)];
这里可以自定义运算，可以取最值等等
\(Update7.21\):其实求子集就是\(FWT\_or(f,1)\),求超集就是\(FWT\_and(f,1)\)，不过高维前缀和可以资瓷不只是乘法的更多操作
三、做题经验
1.巧用容斥
很多情况需要求的是恰好怎样的答案，这个时候可以改为至少怎样的方案，然后用\(\pm1\)容斥或者组合数容斥解决
\(eg:\)考试2018.7.9T1、[CF449D]Jzzhu and Numbers
2.巧妙转化子集超集
可以考虑\(01\)翻转后计算贡献
\(eg:\)[SPOJ2829]Time Limit Exceeded
