线性规划的对偶问题

线性规划的对偶问题

Tags:数学


对偶问题

\(max\{c^Tx|Ax\le b\}=min\{b^Ty|A^Ty\ge c\}\)
引用这个博客里的例子:Blog

某工厂有两种原料A、B,而且能用其生产两种产品:
1、生产第一种产品需要2个A和4个B,能够获利6;
2、生产第二种产品需要3个A和2个B,能够获利4;
此时共有100个A和120个B,问该工厂最多获利多少?

用数学表达式描述如下:
已知:
\(2×X1+3×X2≤100\)
\(4×X1+2×X2≤120\)
求:
\(6×X1+4×X2\)的最大值
画出来是这样:
kjuup4.png
手动二分得,\(X1=X2=20\)时最大为\(200\)

工厂除了拿原料生产成产品卖掉这条出路外,还有一种方法是直接将原料卖掉。但是要求把原料卖掉赚的钱比生产成产品赚的钱多。那么最低可以接受多少的价格呢?假设资源A和B的单价分别为:Y1和Y2,那么可以用数学表达式描述如下:
已知:
\(2×Y1+4×Y2≥6\)
\(3×Y1+2×Y2≥4\)
求:
\(100×Y1+120×Y2\)的最小值
画出来是这样子
kjumhF.png
手动二分得最小值是\(200\)

再来看看这个式子

\(max\{c^Tx|Ax\le b\}=min\{b^Ty|A^Ty\ge c\}\)
PS:\(A^T\)表示矩阵的转秩,也就是沿对角线翻折。小写字母都是列向量。
\(c\):每种成品的收益
\(x\):每种成品生产多少个
\(A\):生产每种成品所需要的原料数
\(b\):每种原料的总个数
\(y\):直接卖原料、每种原料的价格

大概能够理解了?

关于对偶问题的性质

  • 对偶问题的对偶问题是原问题
  • 两问题的最优解相等
  • 两问题的可行解,显然对于上式左边要小于等于右式

题目

看这题

posted @ 2019-03-05 19:02  饕餮传奇  阅读(3012)  评论(0编辑  收藏  举报