树状数组进阶
单点加+矩阵求和
void add(int x,int y,int v)
{
for (int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
for (int j=y;j<=m;j+=lowbit(j))
a[i][j]+=v;
}
int sum(int x,int y)
{
int res=0;
for (int i=x;i;i-=lowbit(i))
for (int j=y;j;j-=lowbit(j))
res+=a[i][j];
return res;
}
int ask(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
return sum(x2,y2)-sum(x2,y1-1)-sum(x1-1,y2)+sum(x1-1,y1-1);
}
矩阵加+矩阵求和
考虑维护差分数组
\[\begin{aligned}
& \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a[i][j] \\
& =\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^i \sum_{l=1}^j b[k][l] \\
& =\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m(n-i+1)(m-j+1) \cdot b[i][j] \\
& =\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m(n+1)(m+1) \cdot b[i][j]-\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m(m+1) i \cdot b[i][j]- \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m(n+1) j \cdot b[i][j]+\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m i j \cdot b[i][j] \\
& =(n+1)(m+1) \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m b[i][j]-(m+1) \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m c[i][j]-(n+1) \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m d[i][j]+\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m e[i][j]
\end{aligned}
\]
差分数组
\(b[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1]\)
\[\begin{aligned}
& c[i][j]=i \cdot b[i][j] \\
& d[i][j]=j \cdot b[i][j] \\
& e[i][j]=i j \cdot b[i][j]
\end{aligned}
\]
#include<bits/stdc++.h>
#define pt putchar(' ')
#define nl puts("")
#define pi pair<int,int>
#define pb push_back
#define go(it) for(auto &it:as[x])
using namespace std;
const int N=2050;
int n,m,a,b,c,d,k;
int B[N][N],C[N][N],D[N][N],E[N][N];
char op[2];
int fr(){
int x=0,flag=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9'){
if(ch=='-') flag=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0' && ch<='9'){
x=x*10+(ch-'0');
ch=getchar();
}
return x*flag;
}
void fw(int x){
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(x>9) fw(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
int max(int a,int b){return a>b?a:b;}
int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
struct Bit{
int s[N][N];
void add(int x,int y,int v)
{
for(int i=x;i<=n;i+=i&(-i))
for(int j=y;j<=m;j+=j&(-j))
{
B[i][j]+=v;
C[i][j]+=x*v;
D[i][j]+=y*v;
E[i][j]+=x*y*v;
}
}
int query(int x,int y)
{
int res=0;
for(int i=x;i;i-=i&(-i))
for(int j=y;j;j-=j&(-j))
{
res+=(x+1)*(y+1)*B[i][j];
res-=(y+1)*C[i][j];
res-=(x+1)*D[i][j];
res+=E[i][j];
}
return res;
}
void ins(int a,int b,int c,int d,int v)
{
add(a,b,v);
add(a,d+1,-v);
add(c+1,b,-v);
add(c+1,d+1,v);
}
int ask(int a,int b,int c,int d)
{
return query(c,d)-query(c,b-1)-query(a-1,d)+query(a-1,b-1);
}
}tr;
int main()
{
char X;
cin>>X>>n>>m;
while(~scanf("%s",op))
{
a=fr(),b=fr(),c=fr(),d=fr();
if(op[0]=='L') tr.ins(a,b,c,d,fr());
else fw(tr.ask(a,b,c,d)),nl;
}
return 0;
}
二维数点
首先询问转化为二维前缀和求解，其次把树和询问（四个角）全部离散化
本题也是一个二维偏序题，一般用树状数组做，即
\[val(x,y)=\Sigma_{i=1}^x \Sigma_{j=1}^y f(x,y)
\]
贡献的表达如上，\(f\) 是单点贡献
按 \(x\) 排序，则转化为求比自己 \(y\) 值小的树的个数（注意这里已经转化成前缀问题了，不再是矩阵），类似整体二分，树状数组维护值域即可
注意：排序函数要这样写
return (x==Q.x)?((y==Q.y?id<Q.id:y<Q.y)):(x<Q.x);
同一个点，修改一定要在询问前面（修改的 \(id=0\))
#include<bits/stdc++.h>
#define pt putchar(' ')
#define nl puts("")
#define pi pair<int,int>
#define pb push_back
#define go(it) for(auto &it:as[x])
using namespace std;
const int N=2.5e6+10;
int n,m,a,b,c,d,cnt;
int e[N],ans[N],s[N];
struct node{
int x,y,id,type;
bool operator<(const node&Q)const{
return (x==Q.x)?((y==Q.y?id<Q.id:y<Q.y)):(x<Q.x);
}
}q[N<<1];
int fr(){
int x=0,flag=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9'){
if(ch=='-') flag=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0' && ch<='9'){
x=x*10+(ch-'0');
ch=getchar();
}
return x*flag;
}
void fw(int x){
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(x>9) fw(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
int max(int a,int b){return a>b?a:b;}
int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
void add(int i,int x){for(;i<=n;i+=i&(-i)) s[i]+=x;}
int query(int i)
{
int res=0;
for(;i;i-=i&(-i)) res+=s[i];
return res;
}
int main()
{
n=fr(),m=fr();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
a=fr(),b=fr();
q[++cnt]={a,b,0,0};
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
a=fr(),b=fr(),c=fr(),d=fr();
q[++cnt]={a-1,b-1,i,1};
q[++cnt]={c,d,i,1};
q[++cnt]={c,b-1,i,-1};
q[++cnt]={a-1,d,i,-1};
}
n=cnt;
sort(q+1,q+1+n);
for(int i=1;i<=n;i++) e[i]=q[i].y;
sort(e+1,e+1+n);
cnt=unique(e+1,e+1+n)-e-1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int y=lower_bound(e+1,e+1+cnt,q[i].y)-e;
if(q[i].id) ans[q[i].id]+=query(y)*q[i].type;
else add(y,1);
}
for(int i=1;i<=m;i++) fw(ans[i]),nl;
return 0;
}
建一棵前缀 \(trie\) 和一颗后缀 \(trie\)
设前缀到节点 \(x\)，后缀到节点 \(y\)，则我们要求的就是 \(x\,y\) 的共同子树中的字符串个数
子树问题 \(\to\) \(dfn\) 序，这转化成一个二维偏序数点问题
const int N=2e6+10;
int n,m,cnt;
int e[N*5],ans[N*5];
char s[N],t[N];
vector<pi> dot;
struct node{
int x,y,id,type;
bool operator<(const node&Q)const{
return (x==Q.x)?((y==Q.y?id<Q.id:y<Q.y)):(x<Q.x);
}
}q[N*5];
int id(char c)
{
if(c=='A') return 1;
if(c=='G') return 2;
if(c=='U') return 3;
return 0;
}
struct Tire{
int tr[N<<1][4],dfn[N],sz[N],idx=0,stm=0;
int insert()
{
int now=0;
for(int i=0;s[i];i++)
{
int word=id(s[i]);
if(!tr[now][word]) tr[now][word]=++idx;
now=tr[now][word];
}
return now;
}
int query(char s[])
{
int now=0;
for(int i=0;s[i];i++)
{
int word=id(s[i]);
if(!tr[now][word]) return -1;
now=tr[now][word];
}
return now;
}
void dfs(int x)
{
dfn[x]=++stm;
sz[x]=1;
for(int i=0;i<=3;i++)
if(tr[x][i])
dfs(tr[x][i]),sz[x]+=sz[tr[x][i]];
}
}Tr1,Tr2;
struct Bit{
int s[N];
void add(int i,int x){for(;i<=n;i+=i&(-i)) s[i]+=x;}
int query(int i)
{
int res=0;
for(;i;i-=i&(-i)) res+=s[i];
return res;
}
}Tr;
void strrev(int op)
{
if(op==1)
{
for(int i=0,j=strlen(s)-1;i<j;i++,j--)
swap(s[i],s[j]);
}
else
{
for(int i=0,j=strlen(t)-1;i<j;i++,j--)
swap(t[i],t[j]);
}
}
int main()
{
n=fr(),m=fr();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%s",s);
int p=Tr1.insert();
strrev(1);
int q=Tr2.insert();
dot.pb({p,q});
}
Tr1.dfs(0),Tr2.dfs(0);
for(auto &v:dot)
{
v.fi=Tr1.dfn[v.fi];
v.se=Tr2.dfn[v.se];
q[++cnt]={v.fi,v.se,0,0};
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%s%s",s,t);
strrev(2);
int x=Tr1.query(s),y=Tr2.query(t);
if(!(~x) || !(~y)) {ans[i]=0;continue;}
int a=Tr1.dfn[x],b=Tr2.dfn[y],c=a+Tr1.sz[x]-1,d=b+Tr2.sz[y]-1;
q[++cnt]={a-1,b-1,i,1};
q[++cnt]={c,d,i,1};
q[++cnt]={c,b-1,i,-1};
q[++cnt]={a-1,d,i,-1};
}
n=cnt;
sort(q+1,q+1+n);
for(int i=1;i<=n;i++) e[i]=q[i].y;
sort(e+1,e+1+n);
cnt=unique(e+1,e+1+n)-e-1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int y=lower_bound(e+1,e+1+cnt,q[i].y)-e;
if(q[i].id) ans[q[i].id]+=Tr.query(y)*q[i].type;
else Tr.add(y,1);
}
for(int i=1;i<=m;i++) fw(ans[i]),nl;
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号