数论补充

一些数论的补充内容

如何证明没有最大的质数？

设已有质数 \(p_1,...p_n\)

记 \(x=\prod_{i=1}^n p_i+1\)，\(x\) 为新的质数，因为它没有原来的因子

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欧几里得引理

质数 \(p\mid ab\)，则 \(p\mid a\) 或 \(p\mid b\)

证明

若 \(p\not \mid a\)

\(rp=ab\)，\(r\mid ab\)，\(gcd(p,a)=1\)

由裴蜀定理，\(px+ay=1\)

\[b=bpx+bay \]

\[b=bpx+rpy=p(bx+ry) \]

\[p\mid b \]

算术基本定理

\[x=\prod p_i^{a_i} \]

假设分解不唯一， 还有 \(x=\prod q_i^{b_i}\)

\(p_1(p_2...)=q_1q_2...q_n\)，由上述定理，\(p_1\) 一定可以和右边的某项约掉，最后发现两式等价

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证明

\(gcd(a,b)=gcd(b,a\,mod\,b)\)，令 \(a=k_1g,b=k_2g\)，\(g=(a,b)\)，\((k_1,k_2)=1\)

\(a=kb+r \rightarrow r=kb-a=kk_2g-k_1g=g(kk_2-k_1)\)

\(b,r\) 的 \(g\) 不变

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素数检验 \(p\)

\(rand\) \(10\) 个非 \(p\) 的倍数，判断 \(x^{p-1}\equiv 1 \pmod p\)

成功率 \(\frac{1}{2^{100}}\)

数论-Miller Rabin素数判定

https://zhuanlan.zhihu.com/p/349360074

https://www.cnblogs.com/chenxiaoran666/p/MillerRabin.html

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余数域 \(0,1 \ldots, p-1\) 被称作 \(p\) 的剩余系。

1. \(a \equiv b \pmod m \Leftrightarrow m \mid(a-b)\)

2. 若 \(a \equiv b \pmod m\) 且 \(c \equiv d \pmod m\) ，则 \(a\pm\,\times\,c \equiv b\pm\,\times\,d \pmod m\)

3. 若 \(a \equiv b \pmod m\) ，且 \(n\mid m\) ，则 \(a \equiv b \pmod n\)

4. 若 \(a \equiv b \pmod m\)，且 \(a \equiv b \pmod n\) ，则 \(a \equiv b \pmod {[m, n]}\)

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费马小定理证明

若 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\)

则 \(p \mid (a^p-a)\)

由于 \({p \choose k} \equiv 0 \pmod p[1 \leq k \leq p-1]\)

\[\begin{aligned} (a+1)^p-(a+1)&=\sum_{k=0}^p {p \choose k} a^{p-k}-a-1\\ &\equiv a^p-a \equiv 0 \pmod p \end{aligned} \]

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欧拉定理证明

若 \((a,m)=1\)，则 \(a^{\phi (m)} \equiv 1 \pmod m\)