威尔逊定理相关
威尔逊定理相关
求证:\(((p-1)!)^{-1} \equiv (p-1)^{-1} \equiv p-1 \pmod p\) \(gcd(p,x)=1\;x \in Z^*\)
首先证明 \(((p-1)!)^{-1} \equiv (p-1)^{-1} \pmod p\)
先证明下逆元唯一性
\(xa \equiv xa' \equiv 1 \pmod p\),设 \(a \lt a'\),则 \(a'-a \gt 0\)
\(x(a'-a) \equiv 0 \pmod p\),即 \(a'-a=0\),矛盾
得证
进入正题
由威尔逊定理引理 \((p-1)! \equiv -1 \pmod p\)
证明:
当 \(p=2\) 结论成立
下面证明 \(p \gt 2\)
考虑证明 \((p-2)! \equiv 1 \pmod p\),即可推出威尔逊定理
考虑证明:\(1 \to p-1\) 中的数的逆元在\(\pmod p\) 下与 \(1 \to p-1\) 中的某个数一一对应
对于 \(1\),\(1^{p-2} \equiv 1 \pmod 1\),我们去掉 \(1\)
对于 \(2 \to p-1\)
假设 \(\exists x\;x=x^{-1}\)
\(x^2 \equiv 1 \pmod p\)
\((x+1)(x-1) \equiv 0 \pmod p\)
\(x=1\) 或 \(x=p-1\)
则只有 \(1\;p-1\) 的逆元是它自己
再证 \(2 \to p-2\) 的逆元在 \(2 \to p-2\) 之间,若存在,设该数为 \(x\)
若是 \(1\),则 \(x\cdot 1 \equiv 1 \pmod p\),当 \(x=1\) 时成立,矛盾
若是 \(p-1\),则 \(x(p-1) = xp-x \equiv p-x \pmod p\),当 \(x=p-1\) 时成立,矛盾
得证:\(2 \to p-2\) 之间,每个数都有一个不等于自己的,在 \(2 \to p-2\) 之间的逆元
同时根据逆元唯一性,\(2 \to p-2\) 之间的偶数个数两两配对相乘,全是 \(1\),得证威尔逊定理引理
那么 \((p-1)! \equiv -1 \equiv p-1 \pmod p\)
则 \(((p-1)!)^{-1} \equiv (p-1)^{-1} \pmod p\)
再证 \(((p-1)!)^{-1} \equiv p-1 \pmod p\)
\(p=2\) 成立
\(p\not=2\) \(((p-1)!)^{-1}=(p-1)^{(p-2)}=(p-1)\cdot(p-1)^{p-3}=(p-1)*(p-1)^{2^{\frac{p-3}{2}}}=p-1 \pmod p\)
得证