威尔逊定理相关

威尔逊定理相关

求证：\(((p-1)!)^{-1} \equiv (p-1)^{-1} \equiv p-1 \pmod p\) \(gcd(p,x)=1\;x \in Z^*\)

首先证明 \(((p-1)!)^{-1} \equiv (p-1)^{-1} \pmod p\)

先证明下逆元唯一性

\(xa \equiv xa' \equiv 1 \pmod p\)，设 \(a \lt a'\)，则 \(a'-a \gt 0\)

\(x(a'-a) \equiv 0 \pmod p\)，即 \(a'-a=0\)，矛盾

得证

---

进入正题

由威尔逊定理引理 \((p-1)! \equiv -1 \pmod p\)

证明：

当 \(p=2\) 结论成立

下面证明 \(p \gt 2\)

考虑证明 \((p-2)! \equiv 1 \pmod p\)，即可推出威尔逊定理

考虑证明：\(1 \to p-1\) 中的数的逆元在\(\pmod p\) 下与 \(1 \to p-1\) 中的某个数一一对应

对于 \(1\)，\(1^{p-2} \equiv 1 \pmod 1\)，我们去掉 \(1\)

对于 \(2 \to p-1\)

假设 \(\exists x\;x=x^{-1}\)

\(x^2 \equiv 1 \pmod p\)

\((x+1)(x-1) \equiv 0 \pmod p\)

\(x=1\) 或 \(x=p-1\)

则只有 \(1\;p-1\) 的逆元是它自己

再证 \(2 \to p-2\) 的逆元在 \(2 \to p-2\) 之间，若存在，设该数为 \(x\)

若是 \(1\)，则 \(x\cdot 1 \equiv 1 \pmod p\)，当 \(x=1\) 时成立，矛盾

若是 \(p-1\)，则 \(x(p-1) = xp-x \equiv p-x \pmod p\)，当 \(x=p-1\) 时成立，矛盾

得证：\(2 \to p-2\) 之间，每个数都有一个不等于自己的，在 \(2 \to p-2\) 之间的逆元

同时根据逆元唯一性，\(2 \to p-2\) 之间的偶数个数两两配对相乘，全是 \(1\)，得证威尔逊定理引理

那么 \((p-1)! \equiv -1 \equiv p-1 \pmod p\)

则 \(((p-1)!)^{-1} \equiv (p-1)^{-1} \pmod p\)

---

再证 \(((p-1)!)^{-1} \equiv p-1 \pmod p\)

\(p=2\) 成立

\(p\not=2\) \(((p-1)!)^{-1}=(p-1)^{(p-2)}=(p-1)\cdot(p-1)^{p-3}=(p-1)*(p-1)^{2^{\frac{p-3}{2}}}=p-1 \pmod p\)

得证