快速幂

传统幂运算

　　幂运算应该说是一种很简单的运算，在计算机中，可以通过循环手段实现。要计算$n^m$,需要进行m-1次乘法运算，所以时间复杂度为O(m)。

#include <iostream>
#define LL long long
using namespace std;

LL pow(LL base,LL pow){
    LL res = base;
    for(int i=1;i<pow;i++)
        res*=base;
    return res;
}

快速幂的原理

　　当m较小时，O(m)的算法完全可以满足我们的要求，可是当m较大时，幂运算就可能无法满足我们的要求了。挑剔的计算机科学家想到，能不能在传统的幂运算上进一步优化呢？他们还真想到了办法，首先，幂运算在指数层面，执行的是加法运算，例如，计算$2^1000$,它的计算步骤是

$$2^{1} = 2^{0+1}\\ 2^{2} = 2^{1+1}\\2^{3} = 2^{2+1}\\...\\2^{1000} = 2^{999+1}$$

也就是说，$n^m$中的m，是在从0开始，逐步自增，最终达到m的。那么如果为这个自增过程加速，那么就可以降低整个算法的时间复杂度了。那么怎么增加速度呢，科学家们想到了用二进制做文章。我们可以将一个数转化为一个二进制，例如：

$$97 =(1100001)_2$$

在二进制中，一位上的数为1，代表该数存在对应的二进制整数，为0则不存在

$$97 = (1100001)_2 = 64+32+1 = (1000000)_2+(100000)_2+(1)_2$$

根据这种特征，科学家创造出了快速幂算法：

首先将指数m转化为二进制：

$$1000 = (1111101000)_2$$

则原值可以表示为：

$$2^{1000} = 2^{(1111101000)_2}$$

然后不断改变底数，就是不断让它和自己相乘：

$$2^1 = 2^{(1)_2}\\ 2^2 = 2^1*2^1=2^{(10)_2}\\2^4 = 2^2*2^2 = 2^{(100)_2}\\...$$

当底数自增时，每一次都判断当前这个数对应的指数在指数m的二进制表示中是否存在，如果存在，这将该底数和当前结果相乘，否则忽略。

代码如下:

#include<iostream>
#define LL long long
using namespace std;
LL mod = 1000;
LL fastPow(LL base,LL pow)
{
    LL res = 1;
    while(pow)
    {
        if(pow%2)
            res = (res*base)%mod;
        base =(base*base)%mod;
        pow/=2;
    }
    return res;
}
int main()
{
    LL c = fastPow(2,1000000000);
    printf("%lld",c);
    return 0;
}