分块&莫队

更优美的暴力

众所周知，暴力经常慷慨的给 OIer 优美的部分分，而更优美的暴力优化分块便是强到碾压线段树的算法。
根据「骗分导论」里面对暴力的描述，暴力并不繁杂，所以分块也并不难。

思想

前文说到分块可以碾压线段树，那么我们以线段树的板子题为例题。
【模板】线段树 1

已知一个数列 \(a\) ，长度为 \(n\) 你需要进行 \(m\) 次下面的两种操作：

• 将区间 \([x,y]\) 中的每一个数加上 \(k\)。
• 求出区间 \([x,y]\) 中的每一个数的和。

\(1 \le n, m \le {10}^5\) 。
保证任意时刻数列中所有元素的绝对值之和 \(\le {10}^{18}\)。

既然是暴力，我们从最朴素的循环开始考虑。
对于每一个操作，都将区间进行枚举，从而求值，显然这是拿不到满分的。
而我们可以将序列分成若干组，与线段树与树状数组分 \(2\) 的正整数次幂不同的是，我们将序列分成长度为 \(t\) 的若干组区间，我们将其称为「块」，然后记录每一个块的左右端点 \(l[i],r[i]\)，再暴力处理每个块的和 \(sum[i]\) 。
此时对于每组查询，有两种情况:

• 当 \([x,y]\) 在某个块内，则直接暴力，复杂度为 \(O(t)\)。
• 当 \([x,y]\) 至少横跨两个块及以上，则可以将区间分为两到三个部分。
  1 . 左端点 \(x\) 所在的块，复杂度为 \(O(t)\)。
  2 . 右端点 \(y\) 所在的块，复杂度为 \(O(t)\)。
  3 . 两者之间所被包含的所有块，复杂度为 \(O(\frac{n}{t})\)。

因为左右两个区间不一定被全部覆盖，此时我们可以暴力求和。
而中间的区块由于已经预处理过 \(sum\) ，所以可以直接加。

而区间加法也与其类似：

• 维护一个 \(add\) 数组来存储对于每个块的加法操作
  1 . 当 \([x,y]\) 在某个块内，直接暴力加，复杂度为 \(O(t)\)。
  2 . 当 \([x,y]\) 横跨块时，对于左右两个端点所在的块，直接暴力加，而对于中间完全被覆盖的块，把加值加在 \(add\) 上，复杂度为 \(O(\frac{n}{t}+2t)\)，省略常数为 \(O(\frac{n}{t}+t)\)。

在暴力加时，需要更新 \(a[i]\) 的值和 \(sum[i]\) 的累加。
而在查询时，需要把 \(add\) 的值也加上，注意暴力加单个是直接加，而在加一个块时，需将其乘上块长 \(t\)。

而根据均值不等式或目测法贪心来看，\(t\) 的取值应该是 \(\sqrt n\) 。
所以查询的复杂度是 \(O(t)\) ，修改也是 \(O(t)\)。
此时，我们就得到了 \((n\sqrt n)\) 这个优秀的复杂度。
虽不及线段树，但代码比线段树少很多。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+5;
long long a[N],l[N],r[N],sum[N],id[N],add[N];//id 是原数组在块上的编号 
int n,t,m; 
int main(){
	cin>>n>>m;
	int t=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	for(int i=1;i*t<=n;i++){//预处理 l,r,sum,id 
		l[i]=(i-1)*t+1;
		r[i]=i*t;
		for(int j=l[i];j<=r[i];j++){
			sum[i]+=a[j];
			id[j]=i;
		}
	}
	l[t+1]=t*t+1;//由于int下取整，所以我们单独考虑一下最后一个块 
	r[t+1]=n;
	for(int i=t*t+1;i<=n;i++){
		sum[t+1]+=a[i];
		id[i]=t+1;
	}
	while(m--){
		int op,x,y,k;
		cin>>op>>x>>y;
		if(op==1){//区间加 
			cin>>k;
			if(id[x]==id[y]){//在一个块内 
				for(int i=x;i<=y;i++)
					a[i]+=k;
				sum[id[x]]+=(y-x+1)*k;
			}
			else{
				for(int i=x;i<=r[id[x]];i++){//左端点的块 
					a[i]+=k;
					sum[id[x]]+=k;
				}
				for(int i=y;i>=l[id[y]];i--){//右端点的块 
					a[i]+=k;
					sum[id[y]]+=k;
				}
				for(int i=id[x]+1;i<=id[y]-1;i++)//中间完整的块 
					add[i]+=k;
			}
		}
		else{//区间查询 
			long long ans=0;//注意long long 
			if(id[x]==id[y]){//在一个块内 
				for(int i=x;i<=y;i++)
					ans+=a[i]+add[id[x]];
				cout<<ans<<"\n";
			}
			else{
				for(int i=x;i<=r[id[x]];i++)
					ans+=a[i]+add[id[x]];//左端点的块 
				for(int i=y;i>=l[id[y]];i--)
					ans+=a[i]+add[id[y]];//右端点的块 
				for(int i=id[x]+1;i<=id[y]-1;i++)
					ans+=sum[i]+add[i]*t;//中间完整的块 
				cout<<ans<<"\n";
			}
		}
	}
	return 0;
}