线性代数

矩阵的定义

一般用圆括号或方括号表示矩阵，矩阵拥有行与列，一般这么表示：\(\begin{bmatrix}a & b &c\\d & e & f\\\end{bmatrix}\)，其行数为 \(2\)，列数为 \(3\) 。

方阵

行列相等的矩阵。

同型矩阵

两个矩阵行列对应相等。

单位矩阵

所有第 \(i\) 行 \(i\) 列的元素为 \(1\)（即主对角线） ，其他均为 \(0\) ，如：
\(\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\\end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\\end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\0&0\end{bmatrix}\)
即：

for(int i=1;i<=min(n,m);i++)a[i][i]=1;

矩阵的运算

矩阵的加减法

如果两个同型矩阵相加，对应位置相加（减）即可，非同型矩阵不得相加（减）。例如：
\(\begin{bmatrix}1 & 1 & 4\\5 & 1 & 4\\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 & 9 & 1\\9 & 8 & 10\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 10 & 5\\14 & 9 & 14\\\end{bmatrix}\)

矩阵的乘法

一个矩阵 \(A\) 乘 \(k\)，将 \(A\) 上所有元素乘 \(k\)，记作 \(kA\) 。
当 \(A\) 矩阵的列等于 \(B\) 矩阵的行，那么才能进行相乘。
若 \(A\) 是一个 \(n\cdot k\) 的矩阵， \(B\) 是一个 \(k\cdot m\) 的矩阵，他们的结果将是一个 \(n\cdot m\) 的矩阵 \(C\) ， \(C_{i,j}=\sum_{l=1}^kA_{i,l} \cdot B_{l,j}\) 。

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int l=1;l<=k;l++)
            c[i][j]+=a[i][l]*b[l][j];

运算律

加法满足交换律与结合律，即：\(C=A+B=B+A ， D=A+B+C=A+(B+C)\) 。
乘法只满足结合律，不满足交换律，即：\(D=A\cdot B \cdot C=A\cdot(B\cdot C)，C=A\cdot B\neq B\cdot A\) 因为乘法分先后，考虑前后行列数。

矩阵快速幂

跟普通快速幂一样，只不过将类型改为矩阵类型，将初始化的1改为单位矩阵，将乘法换成函数（或重载运算符），注意，能开幂的矩阵一定是一个方阵（即行列相等）。

struct jz{
    int a[N][N];
};
jz mul(jz a,jz b){
    jz c;
    memset(c.a,0,sizeof(c.a));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int l=1;l<=n;l++)
                c.a[i][j]+=a.a[i][l]*b.a[l][j];//都是方阵，所以都开n
    return c;
}
jz jzpow(jz a,int b){
    jz c;
    for(int i=1;i<=n;i++)c.a[i][i]=1;//初始化单位矩阵
    while(b){
        if(b&1)c=mul(c,a);
        a=mul(a,a);
        b>>=1;
    }
    return c;
}

矩阵快速幂加速递推

自编题

如题，当 \(n>5\) 时，有一个递推式，按他递推会TLE，我们可以将其转化成一个矩阵。
我们设矩阵 \(A=\begin{bmatrix}f_i&f_{i-1}&f_{i-2}&f_{i-3}&f_{i-4}\\\end{bmatrix}\) ， \(B=\begin{bmatrix}f_{i-1}&f_{i-2}&f_{i-3}&f_{i-4}&f_{i-5}\\\end{bmatrix}\) ，我们设 \(A\) 是由 \(B\) 乘上另一个矩阵得到的，我们就可以尝试推出这个矩阵，经过一顿推敲，我们得到这样一个矩阵：

\[C=\begin{bmatrix} 1&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 1&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\\ 1&0&0&0&0\\ \end{bmatrix} \]

那么有 \(A=B\cdot C\)，将 \(A\) 初始化为 \(A=\begin{bmatrix}f_5&f_4&f_3&f_2&f_1\\\end{bmatrix}\) ， 将其乘上 \(B\) ，得到 \(\begin{bmatrix}f_6&f_5&f_4&f_3&f_2\\\end{bmatrix}\) ， 那么将其乘上\((n-5)\) ，得到 \(\begin{bmatrix}f_n&f_{n-1}&f_{n-2}&f_{n-3}&f_{n-4}\\\end{bmatrix}\) 。
示例程序：
为方便，将初始化变为\(\begin{bmatrix} 1&1&1&1&1\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ \end{bmatrix} \)，不影响结果。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long N = 105, mod = 1e9 + 7;
struct jz {
	long long m[N][N];
};
int len = 5;

jz mul(jz a, jz b) {
	jz c;
	memset(c.m, 0, sizeof(c.m));
	for (int i = 0; i < len; i++)
		for (int j = 0; j < len; j++) {
			for (int k = 0; k < len; k++) {
				c.m[i][j] = (c.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j]) % mod;
			}
		}

	return c;
}

jz jpow(jz a, long long n) {
	jz ans;
	memset(ans.m, 0, sizeof(ans.m));
	for (int i = 0; i < len; i++)
		ans.m[i][i] = 1;
	while (n) {
		if (n & 1) {
			ans = mul(ans, a);
		}
		a = mul(a, a);
		n /= 2;
	}
	return ans;
}

int main() {
		long long n;
		cin >> n;
		if (n <= 5) {
			cout << 1;
			return 0;
		}
		jz F, A;
		for (int i = 0; i < len; i++)
			F.m[0][i] = 1;
		memset(A.m, 0, sizeof(A.m));
		A.m[0][0] = A.m[0][1] = A.m[1][2] = A.m[2][0] = A.m[2][3] = A.m[3][4] = A.m[4][0] = 1;

		F = mul(F, jpow(A, n - 5));
		cout << F.m[0][0];
	
	return 0;
}