2022牛客多校7.23
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | 总题数 | 通过题数 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ! | ! | O | O | ! | O | 12 | 3 | |||||||
| Ø | Ø | O | Ø | Ø | O | Ø | O | 12 | ? |
赛后总结
G
证明见《离散数学》鸽巢原理
思想是分成\(\sqrt (n)\)个长度不超过\(\sqrt (n)\)的单增子序列，每个子序列按第一位数，从大到小排列
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,T;
int main(){
cin>>T;
while(T--){
cin>>n;
int cnt=1;
while(cnt*cnt<n)cnt++;
for(int i=cnt;i>=1;i--)
for(int j=i;j<=n;j+=cnt)
printf("%d ",j);
puts("");
}
return 0;
}
J
题意是求一个大系数二元二次函数的最小值（保证最小值存在）。
最值的求法只需用到两次二次函数最值，（每次削减一个变量）
若按此法，求解时会炸long double的精度，需要用__float128
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
__float128 A,B,C,D,E,F;
const int maxn=1e5+1000;
int n;
int a[maxn];
inline void read(int &x){
x=0;int fl=1;char tmp=getchar();
while(tmp<'0'||tmp>'9')fl=tmp=='-'?-fl:fl,tmp=getchar();
while(tmp>='0'&&tmp<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+tmp-'0',tmp=getchar();
x=x*fl;
}
signed main(){
// freopen("std.txt","r",stdin);
int T;cin>>T;
while(T--){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
read(a[i]);
A=B=C=D=E=F=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
A+=i*i,C+=2*i,D+=-2*i*a[i],E+=-2*a[i],F+=a[i]*a[i];
}
B=n;
__float128 x,y,z;
x=(-C/A*C/4+B),y=-C/A*D/2+E,z=F-D/A*D/4;
long double ans=z-y/x*y/4;
printf("%.12Lf\n",ans);
}
return 0;
}
为了防止精度爆炸，也可以直接用最小二乘法求线性回归（大概是出题思路）
LD sx = 0, sxx = 0, sy = 0, sxy = 0;
loop(i, 1, n) {
sx += i;
sxx += (LD)i * i;
sy += a[i];
sxy += (LD)i * a[i];
}
LD bb = (n * sxy - sx * sy) / (n * sxx - sx * sx);
LD aa = (sxx * sy - sx * sxy) / (n * sxx - sx * sx);
LD res = 0;
loop(i, 1, n) {
LD d = a[i] - (bb * i + aa);
res += d*d;
}
printf("%.8Lf\n", res);
L
这题是队友做的，滚动数组优化空间
赛后补题
K
给一个初始括号串，和最终合法括号串的长度。问合法括号串的个数。
接受\(O(n^3)\)的复杂度
比赛时没仔细算复杂度，以为\(O(n^3)\)不可做。另外受到上次杭电比赛的影响，以为是区间dp。
仍需加强对dp的练习。
不考虑和初始括号串的lcs。那么合法括号串个数可以用g(i,j)数组来求，i->确定括号串的位数，j->左括号比右括号多的个数(右比左多则非法)
定义f(i,j,k)表示，确定合法串的前i位，左比右多k个，lcs至少为j位的状态的个数。
#include<bits/stdc++.h>
#define int unsigned int
using namespace std;
const int maxn=201;
const int mod=1e9+7;
int n,m;
int f[maxn][maxn][maxn];
char s[maxn];
signed main(){
int T;cin>>T;
while(T--){
memset(f,0,sizeof f);
f[0][0][0]=1;
cin>>m>>n;
scanf("%s",s+1);
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=0;j<=i&&j<=m;j++)
for(int k=0;k<=i;k++){
printf("(%d,%d,%d): ",i,j,k);
if(k){
if(j&&s[j]=='(')f[i][j][k]=f[i-1][j-1][k-1],printf(">(%d,%d,%d)",i-1,j-1,k-1);
else f[i][j][k]=f[i-1][j][k-1],printf(">(%d,%d,%d)",i-1,j,k-1);
}
if(j&&s[j]==')')f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k+1],printf("+(%d,%d,%d)",i-1,j-1,k+1);
else f[i][j][k]+=f[i-1][j][k+1],printf("+(%d,%d,%d)",i-1,j,k+1);
puts("");
f[i][j][k]%=mod;
}
}
cout<<f[n][m][0]<<endl;
}
return 0;
}
D
有向图上，找最大的系数w，使得边权均除去w后不存在边权相乘大于1的有向环。
这题比赛场上是另外两位队友负责，思路都是对的，就是没有注意处理好精度问题。
首先w是一个二分答案，找环的过程可以用和找负环类似的做法，进队n次以上则环存在。
但若环的过于大，可能会导致dist数组溢出。
处理方式是对边权和w取log，把乘法转换为加法。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<n;i++)
#define per(i,a,n) for(int i=n-1;i>=a;i--)
#define pb push_back
#define SZ(x) ((int)(x).size())
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define all(x) x.begin(),x.end()
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
typedef double db;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
template<typename T>
inline void read(T &x){
x=0;T fl=1;char tmp=getchar();
while(tmp<'0'||tmp>'9')fl=tmp=='-'?-fl:fl,tmp=getchar();
while(tmp>='0'&&tmp<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+tmp-'0',tmp=getchar();
x=x*fl;
}
const int maxn=1100;
int n,m;
vector<pair<int,long double>>g[maxn];
long double dist[maxn];
int cnt[maxn];
bool inq[maxn];
bool check(long double w){
queue<int>q;
for(int i=1;i<=n;i++){
dist[i]=cnt[i]=0,inq[i]=1;
q.push(i);
}
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop(),inq[u]=0;
cnt[u]++;
if(cnt[u]>n)return 0;
for(auto r:g[u]){
if(dist[r.fi]<dist[u]+r.se+w){
dist[r.fi]=dist[u]+r.se+w;
if(!inq[r.fi]){
q.push(r.fi);
inq[r.fi]=1;
}
}
}
}
return 1;
}
signed main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++){
long double a,c;
int b,d;
scanf("%Lf %d %Lf %d",&a,&b,&c,&d);
c=log(c/a);
g[b].pb(mp(d,c));
}
long double l=0,r=1,mid,ans;
while(r-l>=1e-8){
mid=(l+r)/2;
if(check(log(mid)))l=mid,ans=mid;
else r=mid;
}
printf("%.10Lf\n",ans);
return 0;
}
H
给出n个上下电梯的需求，电梯内至多可有m个人，楼有k层高。规定电梯运行为从一层出发，一直向上到某一层，再一路向下到一层。每上下一层需要1s，不计算人员出入时间，问至少需要多久才能送完所有人并回到一层。
一个显然的结论是，优先考虑一个到达位置最高的需求可以将一些需求更充分地合并到这一趟中来。对于每一趟中的也同理优先考虑不冲突情况下的最高的需求。
如此可以可以把问题转化为一个从数轴最后一维开始的覆盖问题，但同时可以取多层。仍可以用贪心解决。
用multiset和优先队列维护，复杂度\(O(nlogn)\)
点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<n;i++)
#define per(i,a,n) for(int i=n-1;i>=a;i--)
#define pb push_back
#define SZ(x) ((int)(x).size())
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define all(x) x.begin(),x.end()
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
typedef double db;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
template<typename T>
inline void read(T &x){
x=0;T fl=1;char tmp=getchar();
while(tmp<'0'||tmp>'9')fl=tmp=='-'?-fl:fl,tmp=getchar();
while(tmp>='0'&&tmp<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+tmp-'0',tmp=getchar();
x=x*fl;
}
int n,m,k;
const int maxn=2e5+100;
struct node{
int l,r;
friend bool operator<(const node x,const node y){
if(x.l==y.l)return x.r<y.r;
return x.l<y.l;
}
};
multiset<node>s1,s2;
priority_queue<int>h;
const int inf=1e9+7;
signed main(){
cin>>n>>m>>k;
for(int i=1;i<=n;i++){
int l,r;
read(l),read(r);
if(l>r)s2.insert((node){l,r});
else s1.insert((node){r,l});
}
s1.insert((node){inf,0}),s2.insert((node){inf,0});
s1.insert((node){-inf,0}),s2.insert((node){-inf,0});
ll ans=0;
while(s1.size()>2||s2.size()>2){
node u,v;int mx,t;
u=*--s1.lower_bound((node){inf-1,0});
v=*--s2.lower_bound((node){inf-1,0});
mx=max(u.l,v.l);
ans+=1LL*(mx-1)*2;
while(!h.empty())h.pop();
t=mx;
while(t>0){
if(h.size()>=m)t=min(t,h.top()),h.pop();
u=*--s1.lower_bound((node){t,t});
if(u.l>=1) h.push(u.r),s1.erase(s1.lower_bound(u));
else break;
}
while(!h.empty())h.pop();
t=mx;
while(t>0){
if(h.size()>=m)t=min(t,h.top()),h.pop();
u=*--s2.lower_bound((node){t,t});
if(u.l>=1) h.push(u.r),s2.erase(s2.lower_bound(u));
else break;
}
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
I
题目求Y向量组对X向量组两两求余弦后的新的加权和。
这题是算是一道思维题，要想到把过程转化为矩阵运算再运用结合律。（听过如果有深度学习背景能一眼秒）
首先，X向量组两两求余弦可以先把向量组转换成单位向量再写成矩阵乘其转置矩阵。加权和也可以写成两矩阵相乘的形式。
大概是\([ans]=[n*k]*[k*n]*[n*d]\)
如果是先算Y的系数那就是
\(=[n*n]*[n*d]\)复杂度\(O(n*k*n+n*n*d)\)
如果是用结合律先算后面两项
\(=[n*k]*[k*d]\)复杂度\(O(k*n*d+n*k*d)\)
不难发现应用结合律之后，题目就做出来了。
点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<n;i++)
#define per(i,a,n) for(int i=n-1;i>=a;i--)
#define pb push_back
#define SZ(x) ((int)(x).size())
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define all(x) x.begin(),x.end()
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
typedef long double ldb;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
template<typename T>
inline void read(T &x){
x=0;T fl=1;char tmp=getchar();
while(tmp<'0'||tmp>'9')fl=tmp=='-'?-fl:fl,tmp=getchar();
while(tmp>='0'&&tmp<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+tmp-'0',tmp=getchar();
x=x*fl;
}
const int maxn=1e4+100;
const int maxd=55;
int n,k,d;
long double a[maxn][maxd];
long double b[maxn][maxd];
long double c[maxd][maxd];
signed main(){
// ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n>>k>>d;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=k;j++)
cin>>a[i][j];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=d;j++)
cin>>b[i][j];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
long double t=0;
for(int j=1;j<=k;j++)
t+=a[i][j]*a[i][j];
t=sqrt(t);
if(fabs(t)<1e-8)t=1;
for(int j=1;j<=k;j++)
a[i][j]/=t;
}
for(int i=1;i<=k;i++)
for(int j=1;j<=d;j++){
c[i][j]=0;
for(int l=1;l<=n;l++)
c[i][j]+=a[l][i]*b[l][j];
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=d;j++){
b[i][j]=0;
for(int l=1;l<=k;l++)
b[i][j]+=a[i][l]*c[l][j];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=d;j++)
printf("%.8Lf ",b[i][j]);
puts("");
}
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号