[jzoj 6073] 河 解题报告 (DP)

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https://jzoj.net/senior/#main/show/6073

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solution:

• 考虑一条河$x$被染的效果
• 显然对于一条河$i$来说，若$k_i>k_x,b_i<b_x$，那么$i$会被$x$直接染
• 这实际上启示我们可以把直线按$k$为第一关键字，$b$为第二关键字升序排序
• 又发现若$k_i>k_x,b_i>b_x$，这条河会被$x$染色的充要条件是存在$k_y>k_i>k_x,b_y<b_x$
• 这样就易得一个结论，按上述方法将直线排序，一条直线能染得部分是向右最后一个$b$比它小的和向左最后一个$b$比它大的
• 问题转化为了有$n$个区间，询问覆盖总长的方案数，注意到这些区间不存在完全包含关系，$DP$即可
• $f(n)$为染色到$n$的方案数，把这些区间按右端点排序再枚举右端点转移即可。这个可以前缀和优化

code:

#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=5e5+15;
const ll mo=1e9+7;
int n;
struct node
{
    int k,b;
    int id;
}p[N];
bool cmpk(node a,node b) {return a.k==b.k?a.b<b.b:a.k<b.k;}
bool cmpb(node a,node b) {return a.b<b.b;}
struct seg
{
    int l,r;
}c[N];
bool operator < (seg a,seg b) {return a.r==b.r?a.l<b.l:a.r<b.r;}
inline int read()
{
    char ch=getchar();int s=0,f=1;
    while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9') {s=(s<<3)+(s<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return s*f;
}
ll f[N],s[N];
int main()
{
    freopen("river.in","r",stdin);
    freopen("river.out","w",stdout);
    n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) p[i].b=read(),p[i].k=read();
    sort(p+1,p+1+n,cmpk);
    for (int i=1;i<=n;i++) p[i].id=i;
    sort(p+1,p+1+n,cmpb);
    int mi=n;
    for (int i=n;i>=1;i--) mi=min(mi,p[i].id),c[p[i].id].l=mi;
    int mx=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) mx=max(mx,p[i].id),c[p[i].id].r=mx;
    sort(c+1,c+1+n);
    int pos=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        while (pos<c[i].r-1)
        {
            ++pos;
            s[pos]=(s[pos-1]+f[pos])%mo;
        }
        (f[c[i].r]*=2)%=mo;//这个区间可以选，也可以不选 
        (f[c[i].r]+=s[c[i].r-1]-(c[i].l>=2?s[c[i].l-2]:0)+mo)%=mo;
        if (c[i].l==1) (f[c[i].r]+=1)%=mo;
    }
    printf("%lld\n",f[n]%mo);
    return 0;
}