集训杂题整理
集训杂题整理：
求区间众数。
像这种不好合并的数据我们可以考虑分块处理。先离散化，再分块维护离散化后的值。此时，如果查询的区间左右端点所属的块相邻或相间，可以直接暴力查询。那如果两个块之间隔了多个块呢？按照分块的一般思路我们可以对散块进行暴力查询，对于整块考虑预处理。用 \(pre_{i,j}\) 表示第 \(i\) 到第\(j\)个块的最小众数，\(s_{i,j}\)表示前\(i\)个块内\(j\)的出现次数。\(s,pre\) 都可以在\(O(n\sqrt{n})\) 的复杂度内处理。
这样的话对于两个块距离较大的数据，我们所求的答案就是所有整块的答案并上散块的答案，整块的答案可以通过\(p\)求出，散块的借助\(s\)快速求出。时间复杂度\(O(n\sqrt{n})\) 。
这题的主要难点在于区间加这个操作。考虑斐波那契数列的通项公式:
这样我们只需用两棵线段树分别维护两个等比数列，套用等比数列求和公式，最后查询时将两棵树上的结果相减即可。
先考虑转化一下题意，本题要求一个数组是否存在三个数\(x,y,z\),使\(a_x,a_y,a_z\)满足\(a_y-a_x=a_z-a_y\)，此时这个答案还是不好直接得到，所以我们可以想到转化要求的东西。先定中间的\(y\),在考虑两边的\(x,y\)，看是否存在\(x,y\)使\(\frac{a_x+a_z}{2}=a_y\)，这样还是不能在规定时间内求出答案，所以还要再转换一下思路。考虑维护一个数组\(c_i\)，表示这个数在之前是否出现过，若出现过则为\(1\)，没有出现过则为\(0\)。这样不存在一个等差数列的充要条件即为存在一个以当前枚举的\(a_i\)为中心的回文串。判断回文串可以比较两边的哈希值，哈希值则由线段树进行维护，时间复杂度\(O(nlogn)\)。
记 \(f_{i,j}\) 为区间\([i,j]\) 的答案，我们观察一下题目，可以发现对于一个连续的颜色段，他只会发生分裂，即分裂成两个连续段，而不会与相邻连续段合并。这样的话我们就可以考虑对于一个区间找出其中颜色最小的一点，编号记为\(pos\)，然后考虑\(f_{i,k},f_{k+1,pos-1},f_{pos+1,k'},f_{k'+1,j}\)四个区间的答案进行更新即可，这样的复杂度是\(O(n^4)\)的。
考虑对这个做法进行优化，我们发现\(pos\)左右两边对答案的贡献是互不影响的，所以可以分别枚举\(pos\)两边，将两边得到的方案数乘起来进行更新，时间复杂度\(O(n^3)\)。
神题orz,当时lxr上课讲的时候没完全听懂，后来看了一下题解才彻底搞懂。
考虑用\(f_{i,j}\)表示在\(i\)的子树内划分出\(j\)个连通块后最多有多少个连通块满足条件，为了方便转移我们可以开一个结构体让\(f_{i,j}\)同时记录子树内 \(w_i-b_i\) 的最大值，这里我们可以发现当最大符合条件的连通块数目相同时，\(w_i-b_i\) 越大对后续情况来讲是越优的。因此在转移时若需要进行比较，则只要以最大连通块数目为第一关键字，\(w_i-b_i\) 为第二关键字比较即可。转移的话则类似于树形背包。
推一下可以得到方程式为(下面的\(num\)表示连通块数量，\(s\)表示值)：
以上是第一种情况，即将\(x\)算作一个独立的连通块。
而如果将\(x\)并到子树所在的连通块那么：
首先考虑暴力\(\text{dp}\) ，用\(f_{i,j}\) 表示前\(j\)个老鼠进入前\(i\)个洞所需要的最短距离，\(s_{i,j}\)表示前\(j\)个老鼠进到第\(i\)个洞的距离。然后就可以快速推出转移方程式，即：
\(f_{i,j}=\min({f_{i-1,k}+s_{i,j}-s_{i,k}})\) 。
显然这个dp是无法通过此题的，然后我们就要考虑优化。注意到\(s_{i,j}\) 是一个定值，我们可以用单调队列在转移的时候同时维护\(s_{i,j}\)，时间复杂度\(O(nm)\)。
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