树状数组 复习与整理
rt。用\(\LaTeX\)整理了公式。
之前那篇很混乱而且咕咕咕到现在的随笔：st表、树状数组与线段树 笔记与思路整理
一、构成方式
树状数组是一种树状的结构（废话），但是只需要 $ O(n)$ 的空间复杂度。区间查询和单一修改时间复杂度都为 \(O(log\ n)\) ，利用差分区间修改也可以达到 \(O(log\ n)\) ，但此时不能区间查询。通过维护两个数组可以达到 \(O(log\ n)\) 的区间修改与查询。
树状数组是基于一棵二叉树，为便于思想上向数组转化，这里稍微变形：（Excel绘图23333）
如果要在一棵树上存储一个数组并且便于求和，我们可以想到让每个父节点存储其两个子节点的和。（就决定是你啦！线段树！）
为了达到 \(O(n)\) 的空间复杂度，删去一些节点（放弃线段树）后如下：
标有序号的节点为树状数组，序号从左向右增大。
二、运算规律
观察上一节的图可得，每个树状数组的节点都储存了\(2^k\)个原数组节点的数据（\(k\)为节点深度）。也就是说，在上面的图中：
t[1] = a[1];
t[2] = a[1] + a[2];
t[3] = a[3];
t[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4];
t[5] = a[5];
t[6] = a[5] + a[6];
t[7] = a[7];
t[8] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] + a[6] + a[7] + a[8];
所以说，这棵树的（不是我自己推出来的）规律是：
//\(k\)为\(i\)的二进制中从最低位到高位连续零的长度
将\(2^k\)称为\(lowbit(i)\)，则代码如下：
void add(int pos, int val){ //将节点pos增加val
for(int i=pos; i<=n; i+=lowbit(i)){
t[i] += val;
}
}
int ask(int pos){ //求节点pos前缀和
int ans = 0;
for(int i=pos; i>0; i-=lowbit(i)){
ans += t[i];
}
return ans;
}
int query_sum(int l, int r){ //利用前缀和求[l, r]总和
return ask(r) - ask(l);
}
那么问题来了，怎么求这个 \(2^k\) 呢？
有一个巧妙的（我自己也没推出来的）算法是：
抄一段证明如下：
这里利用的负数的存储特性，负数是以补码存储的，对于整数运算 \(x\&(-x)\)有
● 当\(x\)为\(0\)时，即 \(0 \& 0\)，结果为\(0\)；//因此实际运算的时候如果真的出现了\(lowbit(0)\)会卡死，要从\(1\)开始存储
●当\(x\)为奇数时，最后一个比特位为\(1\)，取反加\(1\)没有进位，故\(x\)和\(-x\)除最后一位外前面的位正好相反，按位与结果为\(0\)。结果为\(1\)。
●当\(x\)为偶数，且为\(2^m\)时，\(x\)的二进制表示中只有一位是\(1\)（从右往左的第\(m+1\)位），其右边有\(m\)位\(0\)，故\(x\)取反加\(1\)后，从右到左第有\(m\)个\(0\)，第\(m+1\)位及其左边全是\(1\)。这样，\(x\& (-x)\) 得到的就是\(x\)。
●当\(x\)为偶数，却不为\(2^m\)的形式时，可以写作\(x= y \times (2^k)\) 。其中，\(y\)的最低位为\(1\)。实际上就是把\(x\)用一个奇数左移\(k\)位来表示。这时，\(x\)的二进制表示最右边有\(k\)个\(0\)，从右往左第\(k+1\)位为\(1\)。当对x取反时，最右边的\(k\)位\(0\)变成\(1\)，第\(k+1\)位变为\(0\)；再加\(1\)，最右边的\(k\)位就又变成了\(0\)，第\(k+1\)位因为进位的关系变成了\(1\)。左边的位因为没有进位，正好和\(x\)原来对应的位上的值相反。二者按位与，得到：第\(k+1\)位上为\(1\)，左边右边都为\(0\)。结果为\(2^k\)。
总结一下：\(x\&(-x)\)，当\(x\)为\(0\)时结果为\(0\)；\(x\)为奇数时，结果为\(1\)；\(x\)为偶数时，结果为\(x\)中\(2\)的最大次方的因子。
三、具体操作
1.区间查询单点修改
如上文所说，使用循环维护一条树上路径即可。
模板题： 洛谷 P3374
查看源码
#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
int a[500010], t[500010];
int n, m;
int lowbit(int x){
return x & (-x);
}
void add(int pos, int val){
for(int i=pos; i<=n; i+=lowbit(i)){
t[i] += val;
}
}
int query_node(int pos){
int ans = 0;
for(int i=pos; i>0; i-=lowbit(i)){
ans += t[i];
}
return ans;
}
int query_range(int l, int r){
return query_node(r) - query_node(l-1);
}
int main(){
cin >> n >> m;
int opt, pos, l, r, num;
for(int i=1; i<=n; i++){
scanf("%d", &a[i]);
add_node(i, a[i]);
}
while(m--){
scanf("%d", &opt);
if(opt == 1){
scanf("%d%d", &pos, &num);
add_node(pos, num);
}
if(opt == 2){
scanf("%d%d", &l, &r);
printf("%d\n", query_range(l, r));
}
}
return 0;
}2.单点查询区间修改
利用差分的思想，设数组\(b[i]=a[i]-a[i-1]\)，用树状数组\(t[~]\)表示\(b[~]\)。(这里默认\(a[0]=b[0]=0\))
来一组样例：
\(a[~]=\{1,~5,~4,~2,~3,~1,~2,~5\}\)
\(b[\ ] = \{ 1,\ 4,\ -1,\ -2,\ 1,\ -2,\ 1,\ 3\}\)
处理区间\([1,\ 5]\)，将其中所有元素+1：
\(a[~]=\{1,~{\color{red}{6,~5,~3,~4,~2,}}~2,~5\}\)
\(b[\ ] = \{ 1,\ {\color{red}5,}\ -1,\ -2,\ 1,\ -2,\ {\color{red}0,}\ 3 \}\)
可以看到，只有 \(b[1]\) 和 \(b[6]\) 发生了变化。（即更改区间\([l, r]\)时的节点\(l\)与节点\(r+1\)）因此，以 \(b[\ ]\) 为原数组的 \(t[\ ]\) 只需要执行两次 \(add()\) 即可。但是，在查询 \(a[i]\) 的时候就需要查询 \(b[1...i]\) 之和，在 \(log\ n\) 时间里只能查询单个节点的值。
模板题：洛谷 P3368
查看源码
#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
int a[500010], t[500010];
int n, m;
int lowbit(int x){
return x & (-x);
}
void add_node(int pos, int val){
for(int i=pos; i<=n; i+=lowbit(i)){
t[i] += val;
}
}
void add_range(int l, int r, int val){
add_node(l, val);
add_node(r+1, -val);
}
int query_node(int pos){
int ans = 0;
for(int i=pos; i>0; i-=lowbit(i)){
ans += t[i];
}
return ans;
}
int main(){
cin >> n >> m;
int opt, pos, l, r, num;
for(int i=1; i<=n; i++){
scanf("%d", &a[i]);
add_node(i, a[i] - a[i-1]);
}
while(m--){
scanf("%d", &opt);
if(opt == 1){
scanf("%d%d%d", &l, &r, &num);
add_range(l, r, num);
}
if(opt == 2){
scanf("%d", &pos);
printf("%d\n", query_node(pos));
}
}
return 0;
}3.区间查询区间修改
关于区间查询与区间修改的操作，考虑维护两个树状数组来优化差分：
（本段参考了xenny的博客）
\(\sum_{i=1}^{n}a[i] =\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^it[j]\)
则
所以上式可以变为\(∑^n_{i = 1}a[i] = n∑^n_{i = 1}t[i] - ∑^n_{i = 1}( t[i] * (i - 1) )\)
因此，实现了区间查询与区间修改之后可以实现线段树的某些功能。但这种实现方式与线段树还有所差异，详情见下一节“优势与局限”。
模板题：洛谷 P3372 （线段树模板1）
查看源码
#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[500010], t1[500010], t2[500010];
int n, m;
int lowbit(int x){
return x & (-x);
}
void add_node(int pos, ll val){
for(int i=pos; i<=n; i+=lowbit(i)){
t1[i] += val;
t2[i] += val * (pos-1);
}
}
void add_range(int l, int r, int val){
add_node(l, val);
add_node(r+1, -val);
}
ll quary_node(int pos){
ll ans = 0;
for(int i=pos; i>0; i-=lowbit(i)){
ans += pos * t1[i] - t2[i];
}
return ans;
}
ll quary_range(int l, int r){
return quary_node(r) - quary_node(l-1);
}
int main(){
cin >> n >> m;
int opt, pos, l, r;
ll num;
for(int i=1; i<=n; i++){
scanf("%d", &a[i]);
add_node(i, a[i] - a[i-1]);
}
while(m--){
scanf("%d", &opt);
if(opt == 1){
scanf("%d%d%lld", &l, &r, &num);
add_range(l, r, num);
}
if(opt == 2){
scanf("%d %d", &l, &r);
printf("%lld\n", quary_range(l, r));
}
}
return 0;
}四、优势与局限
很显然，在相同的实现下（区间查询、区间修改），树状数组的码量要小于线段树等，运行时的常数与占用空间也较小。
但实际上，树状数组只能维护前缀操作和（前缀和，前缀积，前缀最大最小），而线段树可以维护区间操作和。
使用树状数组来“维护区间操作和”的实现，本质上是取右端点的前缀和，然后对左端点左边的前缀和的逆元做一次操作。因此，如果不存在逆元的操作（乘法（P.s.:模不为质数）、区间最值等）就无法用树状数组完成。
