Python手动实现 sin(x) 和 cos(x) 函数，不用库函数

手动实现 $sin(x)$ 和 $cos(x)$ 函数

我们将使用泰勒展开式来近似计算 $sin(x)$ 和 $cos(x)$，不使用 Python 内置的 $sin()$ 和 $cos()$ 函数。通过多项式展开，我们可以计算这些三角函数的近似值。

$sin(x)$ 的泰勒展开式

$sin(x)$ 的泰勒展开式为：

$$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

其中，第 $n$ 项的形式为：

$$\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

我们可以通过不断加上每一项，直到达到足够的精度。

$cos(x)$ 的泰勒展开式

$cos(x)$ 的泰勒展开式为：

$$\cos (x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$$

每一项的形式为：

$$\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}$$

同样地，我们通过不断添加每一项来逼近 $cos(x)$ 的值。

代码详解

1. 阶乘计算函数：

   def factorial(n):
       result = 1
       for i in range(1, n + 1):
           result *= i
       return result
   

   这个函数通过一个循环计算 $n!$ 的值。我们用它来计算泰勒展开式中的每一项的阶乘部分。

2. 计算 $sin(x)$ 的函数：

   def my_sin(x, n_terms=10):
       result = 0
       for n in range(n_terms):
           term = ((-1)**n) * (x**(2*n + 1)) / factorial(2*n + 1)
           result += term
       return result
   

   该函数通过 $n$ 项泰勒展开式来计算 $sin(x)$。每一项的计算公式为：

   $$\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

   n_terms 是展开项的个数。通过增加项数，可以提高计算精度。

3. 计算 $cos(x)$ 的函数：

   def my_cos(x, n_terms=10):
       result = 0
       for n in range(n_terms):
           term = ((-1)**n) * (x**(2*n)) / factorial(2*n)
           result += term
       return result
   

   与 $sin(x)$ 类似，$cos(x)$ 也是通过泰勒展开计算的，每一项的公式为：

   $$\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}$$

4. 生成 $x$ 值并绘制图形：

   x_values = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 400)
   sin_values = [my_sin(x) for x in x_values]
   cos_values = [my_cos(x) for x in x_values]
   

   这里使用 np.linspace 函数生成从 $-2\pi$ 到 $2\pi$ 的 400 个点，并计算每个点对应的 $sin(x)$ 和 $cos(x)$ 的值。

5. 绘制图形：

   plt.figure(figsize=(10, 6))
   plt.plot(x_values, sin_values, label=r'$\sin(x)$', color='b')
   plt.plot(x_values, cos_values, label=r'$\cos(x)$', color='r')
   plt.title(r'$\sin(x)$ 和 $\cos(x)$ 图像')
   plt.xlabel('x')
   plt.ylabel('y')
   plt.legend()
   plt.grid(True)
   plt.show()
   

   这里使用 matplotlib 来绘制 $sin(x)$ 和 $cos(x)$ 的曲线，并为图形添加了标题、坐标轴标签、图例以及网格。

完整版代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 计算阶乘的辅助函数
def factorial(n):
    """计算n的阶乘"""
    result = 1
    for i in range(1, n + 1):
        result *= i  # 计算n!
    return result

# 手动实现sin(x)函数
def my_sin(x, n_terms=10):
    """使用泰勒展开计算sin(x)"""
    result = 0  # 初始化sin(x)的结果
    for n in range(n_terms):
        # 计算每一项的值
        term = ((-1)**n) * (x**(2*n + 1)) / factorial(2*n + 1)
        result += term  # 累加每一项的值
    return result

# 手动实现cos(x)函数
def my_cos(x, n_terms=10):
    """使用泰勒展开计算cos(x)"""
    result = 0  # 初始化cos(x)的结果
    for n in range(n_terms):
        # 计算每一项的值
        term = ((-1)**n) * (x**(2*n)) / factorial(2*n)
        result += term  # 累加每一项的值
    return result

# 生成x值，从-2π到2π，共400个点
x_values = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 400)

# 计算每个x值对应的sin(x)和cos(x)的值
sin_values = [my_sin(x) for x in x_values]
cos_values = [my_cos(x) for x in x_values]

# 绘制图形
plt.figure(figsize=(10, 6))  # 设置图形的大小
plt.plot(x_values, sin_values, label=r'$\sin(x)$', color='b')  # 绘制sin(x)曲线
plt.plot(x_values, cos_values, label=r'$\cos(x)$', color='r')  # 绘制cos(x)曲线
plt.title(r'$\sin(x)$ 和 $\cos(x)$ 图像')  # 设置图像标题
plt.xlabel('x')  # 设置x轴标签
plt.ylabel('y')  # 设置y轴标签
plt.legend()  # 显示图例
plt.grid(True)  # 显示网格
plt.show()  # 显示图形

结果

运行代码后，将得到一个图形，如下图所示，展示了 $sin(x)$ 和 $cos(x)$ 的曲线。通过泰勒展开的方式，随着展开项数的增加，函数值的近似精度也会逐渐提高。