图像数字化——图像变换：旋转、平移(不调用库函数)

图像变换：旋转、平移

一、图像旋转实现

数学原理：

图像旋转可以通过一个标准的旋转矩阵来实现。给定一个原始坐标 $(x,y)$，我们可以通过旋转矩阵将其映射到新坐标 $(x^{\prime },y^{\prime })$。

旋转矩阵：
旋转变换的基本形式是通过一个角度 $\theta$ 来确定旋转矩阵。对于二维空间中的点 $(x,y)$，旋转矩阵形式为：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

其中：

• $x^{\prime }$ 和 $y^{\prime }$ 是旋转后的新坐标。
• $\theta$ 是旋转角度，顺时针为正方向。
• $x$ 和 $y$ 是原始坐标。

为了进行旋转，我们只需要将原坐标 $(x,y)$ 通过上述旋转矩阵进行转换。可以理解为，矩阵中的元素 $\cos \theta$ 和 $\sin \theta$ 调整了坐标系的方向，使得坐标点沿着指定的角度旋转。

1.1 计算旋转后画布的尺寸

为了避免旋转后图像被截断，我们需要重新计算旋转后的图像尺寸。旋转后的图像宽度 $W^{\prime }$ 和高度 $H^{\prime }$ 可以通过以下公式计算：

$$\begin{gathered} W^{\prime }=W|\cos \theta |+H|\sin \theta | \\ {H}^{\prime }=W|\sin \theta |+H|\cos \theta | \end{gathered}$$

其中：

• $W$ 和 $H$ 分别是原图的宽度和高度。
• $W^{\prime }$ 和 $H^{\prime }$ 是旋转后图像的宽度和高度。
• $\theta$ 是旋转角度。

这两个公式的意义在于，通过将原图的宽度和高度与旋转角度的三角函数相乘，得到新的尺寸，以确保旋转后的图像不会被裁切。

1.2 逆向映射像素

旋转后的图像需要从原图中逆向映射像素，即我们通过新的图像坐标 $(x^{\prime },y^{\prime })$ 找到对应的原图坐标 $(x,y)$。逆向映射的公式如下：

$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }-c_x^{\prime }\\ y^{\prime }-c_y^{\prime }\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{c}_x\\ c_y\end{array}\right]$$

其中：

• $(x,y)$ 是原图中的像素坐标。
• $(x^{\prime },y^{\prime })$ 是旋转后图像中的像素坐标。
• $(c_x,c_y)$ 和 $(c_x^{\prime },c_y^{\prime })$ 分别是原图和旋转后图像的中心坐标。

这一步的目的是计算旋转后图像中每个像素在原图中的对应位置，进而对每个像素进行赋值。

1.3 双线性插值

由于旋转后的图像坐标 $(x^{\prime },y^{\prime })$ 通常是浮动的，所以我们需要对原图中的像素值进行插值计算，常用的方法是双线性插值。双线性插值公式如下：

假设我们已经得到了逆向映射的原图坐标 $(x_{\text{orig}},y_{\text{orig}})$，并且该坐标位置在原图上处于四个相邻像素的范围内。我们使用四个相邻像素的值来计算新像素值：

$$I(x^{\prime },y^{\prime })=(1-dx)(1-dy)I(x_1,y_1)+dx(1-dy)I(x_2,y_1)+(1-dx)dyI(x_1,y_2)+dxdyI(x_2,y_2)$$

其中：

• $(x_1,y_1),(x_2,y_1),(x_1,y_2),(x_2,y_2)$ 是相邻的四个像素位置。
• $dx$ 和 $dy$ 是 $(x_{\text{orig}},y_{\text{orig}})$ 相对四个像素的距离。

这种插值方式能够有效平滑图像，减少旋转带来的锯齿现象。

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二、图像平移实现

数学原理：

图像平移是指将图像中的每个像素点按照指定的距离 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 在水平和垂直方向上进行移动。平移变换的数学表达式为：

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x+\Delta x\\ y^{\prime }=y+\Delta y\end{array}$$

其中：

• $(x,y)$ 是原图中的像素坐标。
• $(x^{\prime },y^{\prime })$ 是平移后图像中的像素坐标。
• $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 是水平和垂直方向上的平移距离。

2.1 平移的步骤

1. 创建空白画布：根据平移量生成一个新的画布，尺寸为原图尺寸。
2. 计算每个像素的新坐标：通过平移公式 $(x^{\prime },y^{\prime })=(x+\Delta x,y+\Delta y)$ 计算每个像素的平移后坐标。
3. 边界检查：确保新的坐标在新画布的有效范围内，如果坐标越界，则跳过该像素。
4. 复制像素值：将每个像素从原图复制到新图的位置。

平移操作不会影响图像的结构，仅仅是移动图像的位置。

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三、关键参数说明

参数	类型	说明
angle_deg	float	旋转角度（顺时针为正）
dx, dy	int	平移量（像素单位）
cos_val, sin_val	float	旋转矩阵的元素（$\cos \theta$ 和 $\sin \theta$）
cx, cy	int	图像中心坐标
new_cx, new_cy	int	旋转后图像中心坐标

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四、性能优化提示

1. 预先计算旋转矩阵的逆矩阵：旋转矩阵的逆矩阵计算量较大，可以在旋转开始时预先计算好，避免重复计算。

2. Numpy向量化操作替代循环：通过利用Numpy的广播机制，可以将像素的计算过程向量化，从而加速图像的变换过程，避免逐个像素的循环操作。

3. 边界像素的特殊处理：在处理旋转和平移时，图像边界的像素可能会超出画布的范围。通过对边界像素进行特殊处理，减少不必要的判断和计算，可以提升效率。对于旋转，可以使用填充法（如边界填充或者镜像填充）；对于平移，可以根据平移量直接跳过无效的像素位置。

五、代码实现

这个代码示例实现了图像的旋转和平移功能，接下来会分块详细解释每个部分的实现原理。

1. 导入必要的库

import numpy as np
from PIL import Image
import matplotlib.pyplot as plt
import math

• numpy：用于处理图像数据的数组操作。
• PIL：Python Imaging Library，用于加载和处理图像。
• matplotlib.pyplot：用于显示图像的可视化。
• math：提供数学函数，例如三角函数，帮助进行图像旋转。

2. 手动实现图像旋转

def manual_rotate(image_array, angle_deg):
    """
    手动实现图像旋转（不使用OpenCV）
    :param image_array: 输入图像数组 (H,W,C)
    :param angle_deg: 旋转角度（度）
    :return: 旋转后的图像数组
    """

• 该函数将图像数组作为输入，并接受一个旋转角度（单位为度）。
• 图像旋转采用逆向映射方式，即将旋转后的每个像素点逆向映射到原图上。

旋转计算过程

1. 角度转换为弧度

   angle_rad = math.radians(angle_deg)
   

   旋转角度是用度表示的，需要转换为弧度进行计算。

2. 计算旋转后的画布尺寸

   cos_val = math.cos(angle_rad)
   sin_val = math.sin(angle_rad)
   new_w = int(w * abs(cos_val) + h * abs(sin_val))
   new_h = int(w * abs(sin_val) + h * abs(cos_val))
   

   计算旋转后的图像宽度 new_w 和高度 new_h，确保画布能容纳整个旋转后的图像。

3. 创建新画布

   rotated = np.zeros((new_h, new_w, 3), dtype=np.uint8)
   

   创建一个新的空白画布，大小为旋转后的画布尺寸，初始化为零。

4. 逆向映射

   x_orig = (x - new_cx) * cos_val + (y - new_cy) * sin_val + cx
   y_orig = -(x - new_cx) * sin_val + (y - new_cy) * cos_val + cy
   

   对于旋转后的每个像素点 (x, y)，通过逆向映射公式计算在原图中的对应位置 (x_orig, y_orig)。

5. 双线性插值

   # 双线性插值
   if 0 <= x_orig < w-1 and 0 <= y_orig < h-1:
       x1, y1 = int(x_orig), int(y_orig)
       x2, y2 = min(x1 + 1, w - 1), min(y1 + 1, h - 1)
       
       dx = x_orig - x1
       dy = y_orig - y1
       
       # 对每个通道进行插值
       for c in range(3):
           val = (1-dx)*(1-dy)*image_array[y1,x1,c] + \
                 dx*(1-dy)*image_array[y1,x2,c] + \
                 (1-dx)*dy*image_array[y2,x1,c] + \
                 dx*dy*image_array[y2,x2,c]
           rotated[y,x,c] = int(val)
   

   使用双线性插值来计算每个像素点的值，这样可以避免旋转过程中产生锯齿状的效果。根据四个邻近像素的值，计算出新像素点的插值。

3. 手动实现图像平移

def manual_translate(image_array, dx, dy):
    """
    手动实现图像平移（不使用OpenCV）
    :param image_array: 输入图像数组 (H,W,C)
    :param dx: 水平平移量（像素）
    :param dy: 垂直平移量（像素）
    :return: 平移后的图像数组
    """

• 该函数将图像数组作为输入，并接受水平和垂直平移量（单位为像素）。

平移计算过程

1. 创建空白画布

   translated = np.zeros_like(image_array)
   

   创建一个与原图像同样大小的空白画布。

2. 计算平移后的坐标

   x_new = x - dx
   y_new = y - dy
   

   对于每个像素 (x, y)，根据平移量 dx 和 dy 计算平移后的新坐标 (x_new, y_new)。

3. 边界检查

   if 0 <= x_new < w and 0 <= y_new < h:
       translated[y,x] = image_array[y_new, x_new]
   

   检查平移后的新坐标是否在图像范围内。如果在范围内，将对应的像素值复制到新图像中。

4. 显示图像对比

def display_comparison(original, transformed, title):
    """显示对比结果"""
    plt.figure(figsize=(12, 6))
    
    plt.subplot(1, 2, 1)
    plt.imshow(original)
    plt.title('Original Image')
    plt.axis('off')
    
    plt.subplot(1, 2, 2)
    plt.imshow(transformed)
    plt.title(title)
    plt.axis('off')
    
    plt.tight_layout()
    plt.show()

• 使用 matplotlib 显示原图和变换后的图像，便于对比效果。

5. 主程序

if __name__ == "__main__":
    try:
        # 读取测试图像
        img = Image.open('imori.jpg')
        img_array = np.array(img)
        
        # 旋转示例（45度）
        rotated_img = manual_rotate(img_array, 45)
        display_comparison(img_array, rotated_img, 'Rotated 45°')
        
        # 平移示例（x=50, y=30）
        translated_img = manual_translate(img_array, 50, 30)
        display_comparison(img_array, translated_img, 'Translated (50,30)')
        
    except FileNotFoundError:
        print("错误：找不到图像文件 'imori.jpg'")
    except Exception as e:
        print(f"发生错误：{str(e)}")

• 主程序加载测试图像 imori.jpg，然后展示旋转和平移的效果。
• 使用 try...except 结构来处理文件未找到和其他错误。

6. 总结

• 旋转：通过计算旋转矩阵，并使用逆向映射和双线性插值处理旋转后的像素点。
• 平移：直接通过计算每个像素的平移位置，并进行边界检查，确保图像内容的正确迁移。

以上代码在没有依赖 OpenCV 等库的情况下，手动实现了图像的旋转和平移功能，适合了解图像变换原理的学习者使用。

7.结果

展示相应旋转，平移后的结果图。