图像数字化——图像锐化：改变图像的灰度级数(不调用库函数)

图像锐化：改变图像的灰度级数

一、灰度级数调整原理

1. 灰度量化公式：
   给定输入像素值 $P\in [0,255]$ 和目标灰度级数 $L$，量化后的值为：
   $$P^{\prime }=\lfloor \frac{P}{256/L}\rfloor \times \frac{256}{L}$$
   其中 $\lfloor \cdot \rfloor$ 表示向下取整

2. 数学推导：

   • 将256级灰度均匀划分为 $L$ 个区间

   • 每个区间的宽度为 $\Delta =\frac{256}{L}$

   • 映射关系：
     $$P\to \lfloor \frac{P}{\Delta }\rfloor \times \Delta +\frac{\Delta }{2}$$

二、算法实现步骤

1. 预处理阶段：

   • 计算量化步长：
     $$\text{step}=\frac{255}{L-1}$$

   • 建立量化查找表（LUT）：
     $$\text{LUT}[i]=\text{round}\left(i\times \text{step}\right),i=0,1,...,L-1$$

2. 像素处理：
   对每个像素 $P$：

   • 计算量化索引：
     $$k=\lfloor \frac{P}{\text{step}}\rfloor$$

   • 边界处理：
     $$k=\min (k,L-1)$$

   • 输出值：
     $$P^{\prime }=\text{LUT}[k]$$

三、色彩空间转换（RGB→灰度）

1. 亮度公式：
   ITU-R BT.601标准：
   $$Y=0.299R+0.587G+0.114B$$

2. 实现方法：

   • 对每个RGB像素 $[R,G,B]$：
     $$Y=\text{round}(0.299R+0.587G+0.114B)$$

四、代码结构设计

1. 核心函数：

   def change_grayscale_levels(img_array, levels):
       # 转换为灰度图像
       gray_img = rgb_to_grayscale(img_array)
       
       # 计算量化参数
       step = 255 / (levels - 1)
       lut = np.round(np.arange(0, levels) * step).astype(np.uint8)
       
       # 应用量化
       quantized = lut[(gray_img / step).astype(int)]
       return quantized
   

2. 辅助函数：

   def rgb_to_grayscale(rgb_array):
       return np.dot(rgb_array[...,:3], [0.299, 0.587, 0.114]).astype(np.uint8)
   

五、数学特性分析

1. 量化误差：

   • 最大量化误差：
     $${ϵ}_{max}=\frac{\Delta }{2}=\frac{128}{L}$$

   • 均方误差（MSE）：
     $$\text{MSE}=\frac{1}{HW}\sum _{i=1}^H\sum _{j=1}^W(P_{ij}-P_{ij}^{\prime }{)}^2$$

2. 信息熵变化：

   • 原始图像熵：
     $$H_0=-\sum _{k=0}^{255}{p}_k{\log }_2{p}_k$$

   • 量化后熵：
     $$H_L=-\sum _{m=0}^{L-1}{q}_m{\log }_2{q}_m$$
     其中 $q_m$ 是第 $m$ 个灰度级的概率

六、可视化效果预测

灰度级数L	视觉效果	文件大小比
256	连续渐变	100%
64	轻微色阶	~75%
16	明显色块	~50%
4	强烈对比	~25%
2	黑白二值	~12.5%

七、应用场景

1. 医学成像：CT/MRI图像常用16位灰度（$L=65536$）
2. 数字半调：印刷行业使用 $L=256$ 模拟连续色调
3. 图像压缩：通过减少灰度级数降低存储需求

八、算法复杂度分析

1. 时间复杂度：

   • RGB转灰度：$O(H\times W\times 3)$
   • 量化处理：$O(H\times W)$
   • 总体：$O(H\times W)$

2. 空间复杂度：

   • 额外存储LUT：$O(L)$
   • 输出图像：$O(H\times W)$

import numpy as np
from PIL import Image
import matplotlib.pyplot as plt

def rgb_to_grayscale(rgb_array):
    """手动实现RGB转灰度"""
    # ITU-R BT.601标准系数
    return np.dot(rgb_array[...,:3], [0.299, 0.587, 0.114]).astype(np.uint8)

def change_grayscale_levels(image_array, levels):
    """
    手动改变图像灰度级数
    :param image_array: 输入图像数组 (H,W,3)
    :param levels: 目标灰度级数 (2-256)
    :return: 量化后的灰度图像 (H,W)
    """
    # 转换为灰度图像
    gray_img = rgb_to_grayscale(image_array)
    
    # 计算量化参数
    step = 255 / (levels - 1)
    
    # 创建量化查找表
    lut = np.round(np.arange(0, levels) * step).astype(np.uint8)
    
    # 应用量化
    quantized = np.floor_divide(gray_img, step).astype(int)
    quantized = np.take(lut, quantized)
    
    return quantized

def display_results(original, processed, levels):
    """显示对比结果"""
    plt.figure(figsize=(12, 6))
    
    plt.subplot(1, 2, 1)
    plt.imshow(original, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)
    plt.title(f'Original Image (256 levels)')
    plt.axis('off')
    
    plt.subplot(1, 2, 2)
    plt.imshow(processed, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)
    plt.title(f'Processed Image ({levels} levels)')
    plt.axis('off')
    
    plt.tight_layout()
    plt.show()

# 主程序
if __name__ == "__main__":
    # 读取测试图像
    try:
        img = Image.open('imori.jpg')
        img_array = np.array(img)
        
        # 设置目标灰度级数 (可修改为4/8/16/32等)
        target_levels = 8  
        
        # 处理图像
        quantized_img = change_grayscale_levels(img_array, target_levels)
        
        # 显示结果
        display_results(rgb_to_grayscale(img_array), 
                       quantized_img, 
                       target_levels)
        
    except FileNotFoundError:
        print("错误：找不到图像文件 'imori.jpg'")
    except Exception as e:
        print(f"发生错误：{str(e)}")

结果

运行代码后，将获得原图像的灰度化效果，以及经过 8 级灰度处理的图像效果。下图展示了读取的原始图像。