【LeetCode题解】231_2的幂（Power-of-Two）
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描述
给定一个整数，编写一个函数来判断它是否是 2 的幂次方。
示例 1:
输入: 1
输出: true
解释: 2^0 = 1
示例 2:
输入: 16
输出: true
解释: 2^4 = 16
示例 3:
输入: 218
输出: false
解法 1：判断整数 \(x\) 的二进制表示中是否只有一位为1
实现方式 1：除以 2
让我们先来看一下 2 的幂有什么规律，
| n | 2 的幂 | 二进制表示 |
|---|---|---|
| 0 | \(2^0 = 1\) | 0000 0001 |
| 1 | \(2^1 = 2\) | 0000 0010 |
| 2 | \(2^2 = 4\) | 0000 0100 |
| 3 | \(2^3 = 8\) | 0000 1000 |
| ... | ... | ... |
从上面可以看出，如果整数 \(x\) 是 2 的幂，将整数不断除以 2，除了 1 之外，其余的约数一定能被 2 整除。按照这样的想法，我们就能写出**解法 1 **的第一种实现。
Java 实现（非递归）
class Solution {
public boolean isPowerOfTwo(int x) {
if (x <= 0) {
return false;
}
while (x % 2 == 0) {
x /= 2;
}
return x == 1;
}
}
Python 实现（非递归）
class Solution:
def isPowerOfTwo(self, x):
"""
:type n: int
:rtype: bool
"""
if x <= 0:
return False
while x % 2 == 0:
x = x // 2
return x == 1
Java 实现（递归）
class Solution {
public boolean isPowerOfTwo(int x) {
return x > 0 && (x == 1 || (x % 2 == 0 && isPowerOfTwo(x / 2)));
}
}
Python 实现（递归）
class Solution:
def isPowerOfTwo(self, x):
"""
:type n: int
:rtype: bool
"""
return x > 0 and (x == 1 or (x % 2 == 0 and self.isPowerOfTwo(x // 2)))
复杂度分析
- 时间复杂度：两种实现（递归和非递归）的时间复杂度都是 \(O(\log(x))\) 的，其中 \(x\) 表示该整数
- 空间复杂度：非递归实现的空间复杂度是 \(O(1)\) 的，而递归实现的空间复杂度是 \(O(\log(x))\)，因此递归实现占用系统栈的空间，递归的深度最多为 \(\log(x)\)
实现方式 2：位运算
对于实现方式 1，如果用二进制的角度看，就是判断整数的二进制表示的最右边一位是否为 1，如果为 1，则将该整数与 1 进行比较从而得到结果；如果不为 1，则将整数 \(x\) 右移一位（最高位补 0）。因此，我们就会想，是否有一种方式可以直接通过位运算就能达到目的，答案是肯定的。
让我们再来看看下面的表格有什么规律，
| \(2^n\) | \(2^n\) 的二进制表示 | \(2^n - 1\) 的二进制表示 |
|---|---|---|
| 1 | 0000 0001 |
0000 0000 |
| 2 | 0000 0010 |
0000 0001 |
| 4 | 0000 0100 |
0000 0011 |
| 8 | 0000 1000 |
0000 0111 |
| ... | ... | ... |
从表格中可以看出，如果整数 \(x\) 是 2 的幂的话，整数 \(x\) 与 \(x - 1\) 的二进制表示进行与运算，结果为 0，因此我们就可以写出解法 1 的第二种实现方式。
Java 实现
class Solution {
public boolean isPowerOfTwo(int x) {
return x > 0 && ((x & (x - 1)) == 0);
}
}
Python 实现
class Solution:
def isPowerOfTwo(self, x):
"""
:type n: int
:rtype: bool
"""
return x > 0 and (x & x - 1 == 0)
复杂度分析
- 时间复杂度：\(O(1)\)
- 空间复杂度：\(O(1)\)
