题解：P6692 出生点

题目要求把所有合法出生点二元组的曼哈顿距离求和，对质数 \(p=10^{9}+7\) 取模。曼哈顿距离可以拆分成横、纵两轴之差的绝对值之和，因此总答案就是行方向贡献与列方向贡献之和。以下叙述行方向，列方向对称地交换 \(n,m\) 与 \(x,y\) 即可。

设第 \(i\) 行可用格子数为 \(f_i\)。行方向的目标式子是 \(\sum_{i<j}(j-i)f_i f_j\)。

把行按坐标升序扫描并维护两项前缀量 \(S_1=\sum f_i, S_2=\sum i f_i\)。

当新行 \(j\) 到来时，它与已处理部分产生的增量为 \((jS_1-S_2)f_j\)，同时更新 \(S_1,S_2\)。如果就这么逐行做，复杂度会是 \(O(n)\) 而 \(n\le10^{9}\) 不能接受。观察到除了含有障碍的极少行，其余整段行的 \(f_i\) 全相等且都等于 \(m\)，于是可以把这些连续纯净区间整体处理。

把含障碍的行坐标排好序为 \(v_1<v_2<\dots<v_t\)（\(t\le k\)）。连续无障碍区间记为 \([L,R]\)，长度 \(\ell=R-L+1\)。该区间内自身贡献是 \(m^2\binom{\ell}{2}=m^2\frac{\ell(\ell-1)}{2}\)。

它与所有已处理行之间的贡献需用到 \(\sum_{r=L}^{R}r=\frac{\ell(L+R)}{2}\)。

从而可以一次性计算，与逐行扫描的更新公式完全一致，只是把长度与等差数列求和一次套进去。因为区间与单独行都只要 \(O(1)\) 处理，整条扫描的时间主要耗在排序和统计障碍数上。

障碍数统计方法是把障碍数组按 \(x\) 排序，一趟扫描即可获得每个 \(x\) 出现次数 \(c\)，于是 \(f_x=m-c\)。列方向再按 \(y\) 排序做一次即可得到列贡献。

函数 \(\text{calc}\) 负责一维扫描：输入坐标数组 \(\{v_s\}\) 及同长权数组 \(\{f_s\}\)，外加总行（或列）数 \(N\) 与默认权 \(F_0\)。它维护前缀 \(s_1,s_2\)，遇到纯净区间先计算区间内部加区间对前缀的贡献，再批量更新 \(s_1,s_2\)；遇到含障碍单行直接按公式更新。所有乘法都在模 \(p\) 下进行；区间内部自乘系数用到 \(\tfrac12,\tfrac16\) 的逆元。

最终答案是两次调用 \(\text{calc}\)：一次行向、一次列向，结果相加再模 \(p\)。

时间复杂度 \(O(k\log k)\)。

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