AM@一元函数积分@第一换元法
abstract
- 复合函数积分和换元法积分
- 第一换元法积分
换元积分法
- 利用基本积分表和积分的性质所能计算的不定积分是非常有限的
- 把复合函数的微分法反过来用于求不定积分(任何一个求导公式都蕴含着一个不定积分公式),利用中间变量的代换,得到复合函数的积分的方法,称为换元积分法,简称换元法
第一类换元法
-
设 f ( u ) f(u) f(u)具有原函数 F ( u ) F(u) F(u),即 F ′ ( u ) = f ( u ) F'(u)=f(u) F′(u)=f(u); ∫ f ( u ) d u \int{f(u)\mathrm{d}{u}} ∫f(u)du= F ( u ) + C F(u)+C F(u)+C
-
若 u u u是中间变量, u = ϕ ( x ) u=\phi(x) u=ϕ(x)
(0),且设 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)可微,式(0)两边取微分 d u = ϕ ′ ( x ) d x \mathrm{d}u=\phi'(x)\mathrm{d}x du=ϕ′(x)dx(0-1), -
则由复合函数微分法, d F ( ϕ ( x ) ) \mathrm{d}F(\phi(x)) dF(ϕ(x))= f ( ϕ ( x ) ) ϕ ′ ( x ) d x f(\phi(x))\phi'(x)\mathrm{d}x f(ϕ(x))ϕ′(x)dx
(1) -
两端同时积分, ∫ f ( ϕ ( x ) ) ϕ ′ ( x ) d x \int{f(\phi(x))\phi'(x)\mathrm{d}x} ∫f(ϕ(x))ϕ′(x)dx= F ( ϕ ( x ) ) + C F(\phi(x))+C F(ϕ(x))+C
(2) -
由式(0),(0-1), [ ∫ f ( u ) d u ] ∣ u = ϕ ( x ) [\int{f(u)\mathrm{d}{u}}]|_{u=\phi{(x)}} [∫f(u)du]∣u=ϕ(x)= F ( u ) + C F(u)+C F(u)+C
-
定理
- 设
f
(
u
)
f(u)
f(u)具有原函数,
u
=
ϕ
(
x
)
u=\phi(x)
u=ϕ(x)可导,则
∫
f
(
ϕ
(
x
)
)
ϕ
′
(
x
)
d
x
\int{f(\phi(x))}\phi'(x)\mathrm{d}x
∫f(ϕ(x))ϕ′(x)dx=
[
∫
f
(
u
)
d
u
]
∣
u
=
ϕ
(
x
)
[\int{f(u)\mathrm{d}{u}}]|_{u=\phi{(x)}}
[∫f(u)du]∣u=ϕ(x)
(3)- 公式(3)给出了当被积函数 g ( x ) g(x) g(x)形如复合函数 f ( ϕ ( x ) ) f(\phi(x)) f(ϕ(x))乘以先映射函数的导数 ϕ ′ ( x ) \phi'(x) ϕ′(x),即 f ( ϕ ( x ) ) ϕ ′ ( x ) f(\phi(x))\phi'(x) f(ϕ(x))ϕ′(x)时,可以将 g ( x ) g(x) g(x)的积分运算转化为对函数 f ( u ) f(u) f(u)的定积运算
- 此时若能求得 f ( u ) f(u) f(u)的原函数,就能够求出 g ( x ) g(x) g(x)的原函数
- 形式分析:显然本定理第一步就是判断被积函数
g
(
x
)
g(x)
g(x)是否为某个复合函数(如果不是就不用换元),分析出
g
(
x
)
g(x)
g(x)是怎么复合的(
f
(
u
)
,
u
(
x
)
f(u),u(x)
f(u),u(x)),在必要时进行配项,尤其时常数倍数的配项,凑成
d
u
=
ϕ
′
(
x
)
d
x
\mathrm{d{u}}=\phi'(x)\mathrm{d}x
du=ϕ′(x)dx;通常先映射函数
u
(
x
)
u(x)
u(x)是一个多项式,通常是一次式,例如
a
x
ax
ax,
a
x
+
b
ax+b
ax+b,因为一次式的导数式一个常数,容易通过配一个常数因子实现
u
′
d
x
u'\mathrm{d}x
u′dx=
d
x
\mathrm{d}x
dx
- u = a x + b u=ax+b u=ax+b,则 d x \mathrm{d}x dx= 1 a a d x \frac{1}{a}a\mathrm{d}x a1adx= 1 a ( a x + b ) ′ d x \frac{1}{a}(ax+b)'\mathrm{d}x a1(ax+b)′dx= 1 a d ( a x + b ) \frac{1}{a}\mathrm{d}(ax+b) a1d(ax+b)= 1 a d u \frac{1}{a}\mathrm{d}u a1du
- 技巧性:为例将 g ( x ) g(x) g(x)变形为 f ( ϕ ( x ) ) ϕ ′ ( x ) f(\phi(x))\phi'(x) f(ϕ(x))ϕ′(x)形式,需要一定的技巧,因此,相比于复合函数求导而言,复合函数积分更加困难
- 例如,由导数公式
(
sin
x
2
)
′
(\sin{x^2})'
(sinx2)′=
cos
x
2
⋅
2
x
\cos{x^2}\cdot{2x}
cosx2⋅2x,
(4)- 令 f ( u ) = sin u f(u)=\sin{u} f(u)=sinu, u ( x ) = x 2 u(x)=x^2 u(x)=x2
- 对(4)式两边求积分: sin x 2 + C \sin{x^2}+C sinx2+C= ∫ cos x 2 ⋅ 2 x d x \int{\cos{x^2}\cdot{2x}\mathrm{d}x} ∫cosx2⋅2xdx,即 ∫ cos x 2 ⋅ 2 x d x \int{\cos{x^2}\cdot{2x}\mathrm{d}x} ∫cosx2⋅2xdx= sin x 2 + C \sin{x^2}+C sinx2+C
乘积式函数的积分
- 第一换元法可以直接解决部分乘积式函数,这类乘积式函数形如 f ( u ) u ′ f(u)u' f(u)u′(或 f ( ϕ ( x ) ) ϕ ′ ( x ) f(\phi(x))\phi'(x) f(ϕ(x))ϕ′(x)), ( u = ϕ ( x ) ) (u=\phi(x)) (u=ϕ(x))
- 虽然部分乘积式函数可以利用第一换元法积分,但是主要方法还是使用分部积分法解决此类型问题
- 一个乘积式
h
(
x
)
=
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
h(x)=f_1(x)f_2(x)
h(x)=f1(x)f2(x)是否容易通过第一换元法求积分,或者
h
(
x
)
h(x)
h(x)本身可以同通过第一换元法积分,但是所选的复合角度不适合应用第一换元法,需要变形找合适复合角度,这两类情况一般都比较容易试探
- 对于给定的一个函数 f ( x ) g ( x ) f(x)g(x) f(x)g(x),不妨设其中 f ( x ) f(x) f(x)是复合函数 f ( x ) = h ( u ( x ) ) f(x)=h(u(x)) f(x)=h(u(x)),则试探 u ′ ( x ) = k g ( x ) u'(x)=kg(x) u′(x)=kg(x)(或 u ′ ( x ) g ( x ) = k \frac{u'(x)}{g(x)}=k g(x)u′(x)=k,( k k k为常数)是否成立,如果成立,那么该函数适合适用第一积分法: ∫ f ( x ) g ( x ) d x \int{f(x)g(x)}\mathrm{d}x ∫f(x)g(x)dx= 1 k ∫ h ( u ( x ) ) u ′ ( x ) d x \frac{1}{k}\int{h(u(x))u'(x)}\mathrm{d}{x} k1∫h(u(x))u′(x)dx= 1 k ∫ h ( u ) d u \frac{1}{k}\int{h(u)\mathrm{d}u} k1∫h(u)du
例
-
∫ 2 x e x 2 d x \int{2{xe^{x^2}}}\mathrm{d}x ∫2xex2dx
- 被积函数可以视为 e x 2 ⋅ ( x 2 ) ′ e^{x^2}\cdot{(x^2)'} ex2⋅(x2)′,令 u ( x ) = x 2 u(x)=x^2 u(x)=x2, f ( u ) = e u f(u)=e^{u} f(u)=eu,所以 ∫ 2 x e x 2 d x \int{2{xe^{x^2}}}\mathrm{d}x ∫2xex2dx= ∫ e u u ′ d x \int{e^{u}u'\mathrm{d}x} ∫euu′dx= ∫ e u d u \int{e^{u}\mathrm{d}u} ∫eudu= e u + C e^{u}+C eu+C= e x 2 + C e^{x^2}+C ex2+C
- 类似的,通过配项可以计算 k f ( u ) u ′ kf(u)u' kf(u)u′形式的积分,例如 ∫ x e x 2 d x \int{{xe^{x^2}}}\mathrm{d}x ∫xex2dx= 1 2 ∫ 2 x e x 2 d x \frac{1}{2}\int{2{xe^{x^2}}}\mathrm{d}x 21∫2xex2dx= 1 2 e x 2 + C \frac{1}{2}e^{x^2}+C 21ex2+C
- 但是 ∫ 2 x 2 e x 2 d x \int{2{x^2e^{x^2}}}\mathrm{d}x ∫2x2ex2dx就不再容易化成 f ( u ) u ′ f(u)u' f(u)u′的形式,此时因该考虑其他方法
-
∫ x 1 − x 2 d x \int{x\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x ∫x1−x2dx,
- 令 f ( u ) = u f(u)=\sqrt{u} f(u)=u, u ( x ) = 1 − x 2 u(x)=1-x^2 u(x)=1−x2,则 u ′ ( x ) = − 2 x u'(x)=-2x u′(x)=−2x,被积函数表示为 f ( u ) ( 1 − 2 u ′ ( x ) ) f(u)(\frac{1}{-2}u'(x)) f(u)(−21u′(x)), ∫ x 1 − x 2 d x \int{x\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x ∫x1−x2dx= 1 2 ∫ f ( u ) u ′ d x \frac{1}{2}\int{f(u)u'}\mathrm{d}x 21∫f(u)u′dx= 1 2 ∫ f ( u ) d u \frac{1}{2}\int{f(u)}\mathrm{d}u 21∫f(u)du= 1 2 ∫ u d u \frac{1}{2}\int{\sqrt{u}\mathrm{d}{u}} 21∫udu= 1 2 2 3 u 3 2 + C \frac{1}{2}\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C 2132u23+C= 1 3 ( 1 − x 2 ) 3 2 + C \frac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}+C 31(1−x2)23+C
-
∫ 1 a 2 + x 2 d x \int\frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x ∫a2+x21dx
- 从形式上看, g ( x ) = 1 a 2 + x 2 g(x)=\frac{1}{a^2+x^2} g(x)=a2+x21,不适合不是乘积形式,不适合使用第一换元法积分
- 若将其变形为 g ( x ) = 1 ⋅ ( a 2 + x 2 ) − 1 g(x)=1\cdot{(a^2+x^2)^{-1}} g(x)=1⋅(a2+x2)−1,容易试探出,令 u = a 2 + x 2 u=a^2+x^2 u=a2+x2是不合适作为先映射函数
- 考虑到基本积分公式表中, ∫ 1 1 + x 2 d x \int{\frac{1}{1+x^2}}\mathrm{d}x ∫1+x21dx形式接近,对被积函数作变形 g ( x ) = 1 a 2 + x 2 g(x)=\frac{1}{a^2+x^2} g(x)=a2+x21= 1 a 2 ( 1 + x 2 a 2 ) \frac{1}{a^2(1+\frac{x^{2}}{a^2})} a2(1+a2x2)1
- 令 u = x a u=\frac{x}{a} u=ax, f ( u ) = 1 1 + u 2 f(u)=\frac{1}{1+u^2} f(u)=1+u21,
- f ( u ) u ′ f(u)u' f(u)u′= 1 1 + u 2 1 a \frac{1}{1+u^2}\frac{1}{a} 1+u21a1; g ( x ) g(x) g(x)= a − 2 1 1 + u 2 a^{-2}\frac{1}{1+u^2} a−21+u21; g ( x ) f ( u ) u ′ \frac{g(x)}{f(u)u'} f(u)u′g(x)= a − 2 a − 1 \frac{a^{-2}}{a^{-1}} a−1a−2= a − 1 a^{-1} a−1,即 g ( x ) = a − 1 f ( u ) u ′ g(x)=a^{-1}f(u)u' g(x)=a−1f(u)u′
- ∫ 1 a 2 + x 2 d x \int\frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x ∫a2+x21dx= a − 1 ∫ f ( u ) u ′ d x a^{-1}\int{f(u)u'\mathrm{d}x} a−1∫f(u)u′dx= a − 1 ∫ f ( u ) d u a^{-1}\int{f(u)\mathrm{d{u}}} a−1∫f(u)du= a − 1 arctan u + C a^{-1}\arctan{u}+C a−1arctanu+C= 1 a arctan x a + C \frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+C a1arctanax+C
- 下面是简洁版(中间变量的引入式不写)
- 1 a 2 + x 2 \frac{1}{a^2+x^2} a2+x21= 1 a 2 ( 1 + ( x a ) 2 ) \frac{1}{a^2(1+(\frac{x}{a})^2)} a2(1+(ax)2)1= 1 a ( 1 ( 1 + ( x a ) 2 ) 1 a ) \frac{1}{a}(\frac{1}{(1+(\frac{x}{a})^2)}\frac{1}{a}) a1((1+(ax)2)1a1)
- ∫ 1 a 2 + x 2 d x \int\frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x ∫a2+x21dx= 1 a ∫ 1 ( 1 + ( x a ) 2 ) 1 a d x \frac{1}{a}\int{\frac{1}{(1+(\frac{x}{a})^2)}\frac{1}{a}}\mathrm{d}x a1∫(1+(ax)2)1a1dx= 1 a ∫ 1 1 + ( x a ) 2 d x a \frac{1}{a}\int{\frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}\mathrm{d}\frac{x}{a}} a1∫1+(ax)21dax= 1 a arctan x a + C \frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+C a1arctanax+C
-
∫ 1 a 2 − x 2 d x \int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}\mathrm{d}x ∫a2−x21dx
- 该式形基本积分表中 1 1 − x 2 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} 1−x21的积分,
- g ( x ) = 1 a 2 − x 2 g(x)=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} g(x)=a2−x21= 1 a 2 ( 1 − ( x a ) 2 ) \frac{1}{\sqrt{a^{2}(1-(\frac{x}{a})^2})} a2(1−(ax)2)1= 1 a ( 1 − ( x a ) 2 ) \frac{1}{a\sqrt{(1-(\frac{x}{a})^2})} a(1−(ax)2)1
- ∫ g ( x ) \int{g(x)} ∫g(x)= 1 ( 1 − ( x a ) 2 ) d x a \frac{1}{\sqrt{(1-(\frac{x}{a})^2})}\mathrm{d}\frac{x}{a} (1−(ax)2)1dax= arcsin x a + C \arcsin{\frac{x}{a}}+C arcsinax+C
-
∫ 1 x 2 − a 2 d x \int{\frac{1}{x^2-a^2}}\mathrm{d}x ∫x2−a21dx
- 该形式和基本积分表中的公式相差较多,不容易直接进行换元
- 将 g ( x ) = 1 x 2 − a 2 g(x)=\frac{1}{x^2-a^{2}} g(x)=x2−a21= 1 ( x − a ) ( x + a ) \frac{1}{(x-a)(x+a)} (x−a)(x+a)1= 1 2 a ( 1 x − a − 1 x + a ) \frac{1}{2a}(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}) 2a1(x−a1−x+a1)
- 再使用逐项积分法: ∫ g ( x ) d x \int{g(x)}\mathrm{d}x ∫g(x)dx= 1 2 a ( ∫ 1 x − a d x − ∫ 1 x + a d x ) \frac{1}{2a}(\int{\frac{1}{x-a}\mathrm{d}x}-\int{\frac{1}{x+a}\mathrm{d}x}) 2a1(∫x−a1dx−∫x+a1dx)= 1 2 a ( ∫ 1 x − a d ( x − a ) − ∫ 1 x + a d ( x + a a ) ) \frac{1}{2a}(\int{\frac{1}{x-a}\mathrm{d}(x-a)}-\int{\frac{1}{x+a}\mathrm{d}(x+aa)}) 2a1(∫x−a1d(x−a)−∫x+a1d(x+aa))= 1 2 a ( ln ∣ x − a ∣ − ln ∣ x + a ∣ ) + C \frac{1}{2a}(\ln|x-a|-\ln|x+a|)+C 2a1(ln∣x−a∣−ln∣x+a∣)+C= 1 2 a ln ∣ x − a x + a ∣ + C \frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C 2a1ln∣x+ax−a∣+C
-
∫ 1 x ( 1 + 2 ln x ) d x \int{\frac{1}{x(1+2\ln{x})}}\mathrm{d}x ∫x(1+2lnx)1dx
- 定义域 x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in{(0,+\infin)} x∈(0,+∞),所以 1 x d x \frac{1}{x}\mathrm{d}x x1dx= d ln ∣ x ∣ \mathrm{d}\ln{|x|} dln∣x∣= d ln x \mathrm{d}\ln{x} dlnx
- 1 2 ∫ 1 1 + 2 ln x d ( 1 + 2 ln x ) \frac{1}{2}\int{\frac{1}{1+2\ln{x}}}\mathrm{d}(1+2\ln{x}) 21∫1+2lnx1d(1+2lnx)= 1 2 ln ∣ 1 + 2 ln x ∣ + C \frac{1}{2}\ln|1+2\ln{x}|+C 21ln∣1+2lnx∣+C
-
∫ e 3 x x d x \Large\int{\frac{e^{3\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}\mathrm{d}x ∫xe3xdx
-
首先要区别 3 x 3\sqrt{x} 3x和 x 3 \sqrt[3]{x} 3x,本例包含的是前者
-
2 ∫ e 3 x 2 x d x \Large2\int{\frac{e^{3\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}}\mathrm{d}x 2∫2xe3xdx= 2 ∫ e 3 x d x \Large2\int{e^{3\sqrt{x}}}\mathrm{d}\sqrt{x} 2∫e3xdx= 2 3 ∫ e 3 x d ( 3 x ) \Large\frac{2}{3}\int{e^{3\sqrt{x}}}\mathrm{d}(3\sqrt{x}) 32∫e3xd(3x)= 2 3 e 3 x + C \frac{2}{3}e^{3\sqrt{x}}+C 32e3x+C
-
一次函数作为中间变量的复合函数求导
- 一般的,对于 ∫ f ( a x + b ) d x \int{f(ax+b)\mathrm{d}x} ∫f(ax+b)dx, ( a ≠ 0 ) (a\neq{0}) (a=0),总是可以作变换 u = a x + b u=ax+b u=ax+b,化为 ∫ f ( a x + b ) d x \int{f(ax+b)}\mathrm{d}x ∫f(ax+b)dx= ∫ 1 a f ( a x + b ) ⋅ ( a x + b ) ′ d x \int{\frac{1}{a}f(ax+b)\cdot(ax+b)'\mathrm{d}x} ∫a1f(ax+b)⋅(ax+b)′dx= ∫ 1 a f ( a x + b ) d ( a x + b ) \int{\frac{1}{a}f(ax+b)\mathrm{d}(ax+b)} ∫a1f(ax+b)d(ax+b)= 1 a ∫ f ( u ) d u \frac{1}{a}\int{f(u)\mathrm{d}u} a1∫f(u)du
例
-
例: ∫ 2 cos 2 x d x \int{2\cos{2x}\mathrm{d}x} ∫2cos2xdx
- 令 u = 2 x u=2x u=2x. f ( u ) f(u) f(u)= cos u \cos{u} cosu;
- ∫ 2 cos 2 x d x \int{2\cos{2x}\mathrm{d}x} ∫2cos2xdx= ∫ cos 2 x ⋅ 2 d x \int{\cos{2x}\cdot{2}\mathrm{d}x} ∫cos2x⋅2dx= ∫ cos u d u \int\cos{u}\mathrm{d}{u} ∫cosudu= sin u + C \sin{u}+C sinu+C= sin 2 x + C \sin{2x}+C sin2x+C
-
例: ∫ 1 3 + 2 x d x \int\frac{1}{3+2x}\mathrm{d}x ∫3+2x1dx
- f ( u ) = u − 1 f(u)=u^{-1} f(u)=u−1, u = 3 + 2 x u=3+2x u=3+2x, g ( x ) = f ( u ( x ) ) = ( 3 + 2 x ) − 1 g(x)=f(u(x))=(3+2x)^{-1} g(x)=f(u(x))=(3+2x)−1,
- f ( u ( x ) ) ⋅ u ′ ( x ) f(u(x))\cdot{u'(x)} f(u(x))⋅u′(x)= ( 3 + 2 x ) − 1 ⋅ 2 (3+2x)^{-1}\cdot{2} (3+2x)−1⋅2= 2 g ( x ) 2g(x) 2g(x)
- ∫ g ( x ) d x \int{g(x)}\mathrm{d}x ∫g(x)dx= ∫ 1 2 ⋅ 2 g ( x ) d x \int{\frac{1}{2}\cdot{2}g(x)\mathrm{d}x} ∫21⋅2g(x)dx= 1 2 ∫ f ( u ( x ) ) u ′ ( x ) d x \frac{1}{2}\int{f(u(x))u'(x)}\mathrm{d}x 21∫f(u(x))u′(x)dx= 1 2 ∫ f ( u ) d u \frac{1}{2}\int{f(u)\mathrm{d{u}}} 21∫f(u)du= 1 2 ln ∣ u ∣ + C \frac{1}{2}\ln{|u|}+C 21ln∣u∣+C= 1 2 ln ∣ 3 + 2 x ∣ + C \frac{1}{2}\ln{|3+2x|}+C 21ln∣3+2x∣+C
多项式分式积分
-
对于分式求导,尤其是分母比较复杂的,可以尝试将分母通过换元法将分母换成形式简单形式(基础积分表相近的形式),再过渡到逐项积分(利用基本积分表和积分性质)积分
-
这里的换元首先是为了分式多项式化
-
∫ x 2 ( x + 2 ) 2 d x \int{\frac{x^2}{(x+2)^2}}\mathrm{d}x ∫(x+2)2x2dx= ∫ ( u − 2 ) 2 u 3 d u \int\frac{(u-2)^2}{u^3}\mathrm{d}u ∫u3(u−2)2du= ∫ ( u 2 − 4 u + 4 ) u − 3 d u \int(u^2-4u+4)u^{-3}\mathrm{d}u ∫(u2−4u+4)u−3du= ∫ ( u − 1 − 4 u − 2 + 4 u − 3 ) d u \int(u^{-1}-4u^{-2}+4u^{-3})\mathrm{d}u ∫(u−1−4u−2+4u−3)du= ln ∣ u ∣ + 4 + u − 1 − 2 u − 2 + C \ln{|u|}+4+u^{-1}-2u^{-2}+C ln∣u∣+4+u−1−2u−2+C= ln ∣ x + 2 ∣ + 4 x + 2 − 2 ( x + 2 ) 2 + C \ln|x+2|+\frac{4}{x+2}-\frac{2}{(x+2)^2}+C ln∣x+2∣+x+24−(x+2)22+C
三角函数式积分
- 第一换元法还可以用来计算三角函数的积分,另见相关章节
第二换元法
- 另见相关章节
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