LA@2@0@线性方程组解与秩的关系

文章目录

• • 线性方程组一般情况的讨论
  • • 增广矩阵的一般形式
    • 系数矩阵和增广矩阵秩的关系
    • 推理方式0
    • 推理方式1
    • 对角非零行阶梯形矩阵
    • 强化行最简形矩阵🎈
    • • 补充:列变换的同解性
    • 线性方程组有解无解的讨论🎈
    • • 补充:自由未知量和通解形式🎈
  • 归纳:线性方程组有解判定定理
  • • 无解:
    • 有解
  • 线性方程组的解的案例
  • • 分类讨论法(通法)
    • • 分析
      • 分类讨论
      • 组织讨论的结果并总结
    • 行列式判别法(技法)
    • Cramer法则求解带参数系数矩阵线性方程组讨论问题👺
    • 带参数的矩阵的初等变换过程中的倍增问题

线性方程组一般情况的讨论

• 对线性方程组执行初等行变换(高斯消元),可以用方程组的增广矩阵表示,将增广矩阵记为$\overline{A}=(A|\mathbf{b})$,为了书写方便,进一步可以将$\overline{A}$记为$B$
  $$B=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& b_m\end{array}\right)$$

增广矩阵的一般形式

• 将增广矩阵$B$通过初等行变换,可以得到等价的行阶梯形矩阵$\tilde{B}$

• 线性方程组的增广矩阵$B$可以一般地设为如下形式(为书写方便,将$\tilde{B}$作$C$)

• $$C=\tilde{B}=\left(\begin{array}{cccccccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1r}& c_{1r+1}& \cdots & c_{1n}& d_1\\ 0& c_{22}& \cdots & c_{2r}& c_{2r+1}& \cdots & c_{2n}& d_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & c_{rr}& c_{rr+1}& \cdots & c_{rn}& d_r\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& d_{r+1}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right)$$

• C中的$c_{ii}(i=1,2,\cdots ,r)$可能是0元素,若$A$是列满秩的(字母$a,b$被$A,\mathbf{b}$占用,这里用$c$表示)

• $d_{r+1}$=0表示方程组有解;否则方程组无解

系数矩阵和增广矩阵秩的关系

• 设线性方程组的方程个数为$m$,未知数个数为$n$:即矩阵$A$是$m\times n$的,矩阵$B=(A,\mathbf{b})$是$m\times n+1$的
  • $R(A)⩽R(B)⩽R(A)+1⩽n+1$
  • $R(A)⩽R(B)⩽m$
    • 若$R(A)=m$,由夹逼原理,$R(B)=R(A)=m$,
    • 这就是说,如果$A$是行满秩矩阵,则增广矩阵$B$也是行满秩矩阵,且$R(A)=R(B)=m$

推理方式0

• 若$\mathbf{b}$是非零向量,则$R(\mathbf{b})=1$;

  • 利用第一行(第一个元素)倍增到其他行第$2,\cdots ,m$元素为0,可得$R(\mathbf{b})=1$
  • 利用秩的定义也容易判定,$R(b)=1$,因为至少$\mathbf{b}$有一个非零元素,即$R(\mathbf{b})⩾1$;又因为$R(\mathbf{b})⩽\min (1,m)$,所以$R(\mathbf{b})=1$

• 行阶梯形矩阵的每一个级阶梯的高度为1可知,$\tilde{B}$的最后一列主元至多有一个;

• 设$A$的秩为$r$,则$\tilde{B}$因为包含A所以秩至少为$r$

  • 若最后一列存在主元,则一定是最后一个非零行的主元,此时$R(\tilde{B})=r+1$
  • 若最后一列没有主元,那么$R(\tilde{B})=r$

• 由此可得出$\tilde{B}$的一般形式

推理方式1

• 在讨论分块矩阵秩的性质中,有$R(A_1),R(A_2)⩽R(A_1,A_2)⩽R(A_1)+R(A_2)$
• 对于增广矩阵$B=(A_{m\times n},{\mathbf{b}}_{m\times 1})$,有$R(A),R(\mathbf{b})⩽R(B)⩽R(A)+R(\mathbf{b})$
  • 其中$\mathbf{b}$只有一列,所以$R(b)⩽1$,若$A$是非零矩阵,则结论作$R(\mathbf{b})⩽R(A)⩽R(B)⩽R(A)+R(\mathbf{b})$ $⩽R(A)+1$
  • 即$R(A)⩽R(B)⩽R(A)+1$
• 结合行阶梯形矩阵的秩和非零行数的相等关系可得出$\tilde{B}$的一般形式

对角非零行阶梯形矩阵

• 对$\tilde{B}$的$1,\cdots ,n$列间作一定的列交换,可以得到$\tilde{B}$的列等价的矩阵,

  • $$C_1=\left(\begin{array}{cccccccc}{c}_{11}^{\prime }& c_{12}^{\prime }& \cdots & c_{1r}^{\prime }& c_{1r+1}^{\prime }& \cdots & c_{1n}^{\prime }& d_1\\ 0& c_{22}^{\prime }& \cdots & c_{2r}^{\prime }& c_{2r+1}^{\prime }& \cdots & c_{2n}^{\prime }& d_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & c_{rr}^{\prime }& c_{rr+1}^{\prime }& \cdots & c_{rn}^{\prime }& d_r\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& d_{r+1}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right)$$

  • 可以使得$c_{ii}^{\prime }(i=1,2,\cdots ,r)\ne 0$,将此时的矩阵记为D

强化行最简形矩阵🎈

• 矩阵A通过初等变换化简为"包含$r$阶单位子阵行简化矩阵"后的等价矩阵称为强化行最简形矩阵,或简称解形矩阵

  • 先将行阶梯形矩阵$C$化为非零对角行阶梯形矩阵(记为$C_1$)

  • 再将$C_1$的第$i$行非零行除以第$i$行的主元使得$C_1$转换为$C_2$,此时$C_2$的非零对角线元素全部被化为1;

  • 再通过有限步的行倍增,使得$r$个主元所在列的所有非主元被化为0,即前$r$行$r$列构成一个单位阵,将此时的矩阵记为$D$

  • $$D=\left(\begin{array}{c}{E}_r,X_{r\times s}\\ 0_{t\times r},0_{t\times s}\end{array}\right)$$

  • 非零行的前$r$列构成一个$r$阶单位阵,记矩阵A的秩$r=r(A)$

  • $r+s=n$是矩阵A的列数;$r+t=m$是矩阵的行数

  • 矩阵$X$的内容可以是任意的

• Note:在从线性方程组的增广矩阵$C$得到矩阵$D$的过程中,所施加的初等变换包括初等行变换和列交换,都是同解变换

• 矩阵$D$接近但不同于标准形矩阵($X=O$时才是标准形),而是介于行最简形矩阵和标准形矩阵之间的状态

• 这种形式很有用,我们很容易从中读出矩阵对应的线性方程组的解的情况

补充:列变换的同解性

• 值得注意的是,不是所有矩阵都能够只通过初等行变换就能够得到强化行简化矩阵,有时还需要借助列变换中的列交换操作

• 而做列交换的第$i,j$列,意味着它们的系数发生交换,从线性方程组的角度不会影响方程组的解(因为加法满足交换律)

  • $$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2=b_2\end{array} \\ \{\begin{array}{l}{a}_{12}{x}_2+a_{11}{x}_1=b_1\\ a_{22}{x}_2+a_{21}{x}_1=b_2\end{array} \end{gathered}$$

  • 上述两个方程组的解是一样的,虽然它们的系数矩阵却不一样

  • 如果以$x_i=a_i,i=1,2,\cdots ,n$的形式表示方程组的解,则可认为解的形式也是完全一致的,可以认为是通解

  • Note:唯一要注意的是,列的顺序颠倒了,两个方程组的解向量通过调调整元素顺序可以相等;

线性方程组有解无解的讨论🎈

• 有了上述讨论作为铺垫,就容易理解以下对线性方程组解的讨论

• 我们借助线性方程组的增广矩阵的秩来分析解的情况,在有解的情况下,可以进一步化简为强化行最简形矩阵,可以读出解

• $$D=\left(\begin{array}{cccccccc}1& 0& \cdots & 0& c_{1,r+1}& \cdots & c_{1,n}& d_1\\ 0& 1& \cdots & 0& c_{2,r+1}& \cdots & c_{2,n}& d_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& c_{r,r+1}& \cdots & c_{r,n}& d_r\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& d_{r+1}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right)$$

  • 可将$T$用另一种写法代替(从$1$开始计数,共有$n-r$列):

  • $$\left(\begin{array}{cccccccc}1& 0& \cdots & 0& c_{1,1}& \cdots & c_{1,n-r}& d_1\\ 0& 1& \cdots & 0& c_{2,1}& \cdots & c_{2,n-r}& d_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& c_{r,1}& \cdots & c_{r,n-r}& d_r\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& d_{r+1}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right)$$

• 矩阵$D$是行阶梯形矩阵的一种,因此非零行数(秩)和最元素的行阶梯形矩阵$C$的秩相等;

• 矩阵$D$相比于矩阵$C$在有解的情况下更容易看出解;由矩阵$C$也可以判定矩阵是否有解

• cases1:$d_{r+1}\ne 0$

  • 第$r+1$行对应于一个矛盾方程,无解,即整个方程组无解

• cases2:$d_{r+1}=0$

  • case2.1:$r=n$,则方程组有唯一解:$x_i=d_i$,$i=1,2,\cdots ,n$
  • case2.2:$r<n$,方程组有多解,下一节展开介绍
    • $x_i=d_i-\sum _{k=1}^s{c}_{i,k}\times x_{r+k}$,$i=1,2,\cdots ,n$;其中自由未知量为$x_{r+1},x_{r+2},\cdots ,x_n$

补充:自由未知量和通解形式🎈

• $$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_i\\ ⋮\\ x_r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{d}_1-\sum _{k=1}^{n-r}{c}_{1,k}\times x_{r+k}\\ ⋮\\ d_i-\sum _{k=1}^s{c}_{i,k}\times x_{r+k}\\ ⋮\\ d_r-\sum _{k=1}^s{c}_{r,k}\times x_{r+k}\end{array}\right)$$

• 这里$r$是系数矩阵$A$的秩

• 任意给定一组$(x_i{)}_{1\times s},i=r+1,r+2,\cdots n=r+s$,将$x_{r+1},x_{r+2},\cdots ,x_n$称为自由未知量,可以唯一确定$(x_i{)}_{1\times r}=x_1,x_2,\cdots ,x_r$的值,这样的一组表达式称为方程组的通解或一般解

归纳:线性方程组有解判定定理

无解:

1. 无解的充分必要条件是$R(A)<R(A,\mathbf{b})$

有解

1. 有唯一解的充要条件是$R(A)=R(A,\mathbf{b})=n$
2. 有无限多解的充要条件是$R(A)=R(A,\mathbf{b})<n$

线性方程组的解的案例

• 直接来一个硬题

• 假设某个3方程3元线性方程的线性方程组的增广矩阵表示为$B$,讨论解的情况

• $$B=\left(\begin{array}{cccc}1+\lambda & 1& 1& 0\\ 1& 1+\lambda & 1& 3\\ 1& 1& 1+\lambda & \lambda \end{array}\right)$$

分类讨论法(通法)

分析

• $B$经过一系列的初等行变换后,得到:

• $$\tilde{B}=(\tilde{A},{\mathbf{b}}_1)=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1+\lambda & \lambda \\ 0& \lambda & -\lambda & 3-\lambda \\ 0& 0& -\lambda (3+\lambda )& (1-\lambda )(3+\lambda )\end{array}\right)$$

• $$\tilde{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1+\lambda \\ 0& \lambda & -\lambda \\ 0& 0& -\lambda (3+\lambda )\end{array}\right)$$

• 以下将$A$的秩作为分类讨论的标准,用完全归纳法求解

  • 基本原理是线性方程组有解判定定理,其重点是比较$R(A)$,$R(B)$和$n=3$的大小

  • 本例子中包含一个参数$\lambda$,当$\lambda$被赋予一个确定值,$R(A),R(B)$就会被确定,从而方程组解的情况就被确定

  • 如果按照$R(A)<R(B)$,$R(A)=R(B)<n$,$R(A)=R(B)=n$(无解,有唯一解,有多解)作为讨论标准是很直接的想法

    • 然而例如$R(A)<R(B)$包含了较多更细分的可能,比如$R(A)=1,R(B)=2$或$R(A)=2,R(B)=3$

  • 更具体的,可以将$R(A)$的取值作为分类讨论的标准,因为本例$R(A)$的取值范围是$1,2,3$,能够规避前一种分类方式中的重复试探$R(A)$的值的工作,提高归纳讨论效率;最后根据需要,可能要将结果换一种顺序组织并表达出来

分类讨论

• case1:$R(A)=3$

  • 此时系数矩阵A是行满秩矩阵,因此可以直接确定$R(A)=R(B)=3$,方程组有唯一解
  • 条件是$-\lambda (3+\lambda )\ne 0$得:$\lambda \ne 0$且$\lambda \ne -3$

• case2:$R(A)=2$

  • $\tilde{A}$的第2行非零且第三行为0,即:

    • $\lambda 或-\lambda \ne 0$,即$\lambda \ne 0$且$-\lambda (3+\lambda )=0$即$\lambda =0$或$\lambda =-3$

  • 综上,$\lambda =-3$

  • 此时$(1-\lambda )(3+\lambda )=0$,$R(A)=R(B)=2<n=3$,方程组有无穷多解

• case3:$R(A)=1$:

  • 此时$\tilde{A}$的第$2,3$行全为0,即:
    • $\lambda =-\lambda =0$,解得$\lambda =0$
    • $-\lambda (3+\lambda )$=0,解得:$\lambda =0$或$\lambda =-3$
    • 综上$\lambda =0$
  • 代入$\lambda =0$到$\tilde{B}$可知$\tilde{B}$第$2,3$行不是零行,因此,$R(B)=3$,即$R(A)<R(B)$,方程组无解

组织讨论的结果并总结

• 当$\lambda \ne 0$且$\lambda \ne -3$,方程组有唯一解
• 当$\lambda =-3$,方程组有无穷多解
• 当$\lambda =0$,方程组无解

行列式判别法(技法)

• 本例中的系数矩阵恰好是个方阵,优先考虑利用Cramer’s Rule讨论方程组的解

• Cramer法则给出唯一解的条件是$|A|\ne 0$,即

  • $$\begin{gathered} |A|=\left|\begin{array}{ccc}1+\lambda & 1& 1\\ 1& 1+\lambda & 1\\ 1& 1& 1+\lambda \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}3+\lambda & 3+\lambda & 3+\lambda \\ 1& 1+\lambda & 1\\ 1& 1& 1+\lambda \end{array}\right|=(3+\lambda )\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1+\lambda & 1\\ 1& 1& 1+\lambda \end{array}\right| \\ =(3+\lambda )\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right|=(3+\lambda ){\lambda }^2 \end{gathered}$$

  • 可见$\lambda \ne 0$且$\lambda \ne -3$时,方程组有唯一解

• 当$|A|=0$时,即$\lambda =0$或$\lambda =-3$时方程组可能无穷多解或者无解;分别对$\lambda =0,-3$代入增广矩阵中讨论,此时问题转换为无参数线性方程组,依然采用初等变换法,将增广矩阵化为行阶梯形矩阵判断

  • 当$\lambda =0$时,$R(A)=1,R(B)=2$,此时方程组无解
  • 当$\lambda =-3$时,$R(A)=R(B)=2$,此时方程组有无穷多解

Cramer法则求解带参数系数矩阵线性方程组讨论问题👺

• 这类情况$A$系数矩阵是方阵,可以考虑使用Cramer法则通过计算行列式来求解
• 因为行列式$|A|\ne 0$表示方程仅有唯一解($R(A)=R(B)=n$)
• 虽然我们方阵系数行列式只能确定这一种情况,但是依然可以求解出所有其他情况:
  • $|A|=0$对应于方程组可能有无穷多解和无解两种可能
  • 先求出$|A|=0$下所有的(有限个)$\lambda$值:${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots$)
  • 分别将这些具体的参数带入到增广矩阵中,得到无参数的参数矩阵
  • 依次利用初等变换法变形矩阵得到行阶梯行矩阵
  • 分别分析这些情况,所得到的结果即包含了所有可能的情况(无解和多解)

带参数的矩阵的初等变换过程中的倍增问题

• 假设$f(\lambda )$是关于$\lambda$的表达式,那么形如$r_i\times \frac{1}{f(\lambda )}$这类变换有一个前提(假设):$f(\lambda )\ne 0$
• 但是$f(\lambda )$是可能等于0的,这时还需要额外讨论$f(\lambda )=0$的情形以免漏解
• 总之,如果做了上述类型的变换,就需要额外讨论,否则不需要额外讨论