二重积分一般计算步骤
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二重积分计算的一般步骤
分析积分区域草图
- 绘制积分区域D的草图,并考虑多元函数奇偶性的角度化简计算
- 讨论奇偶性函数的判断必然蕴含某个区间(区域)内函数是关于某个轴对称的前提条件
- 先定义域区域对称,然后才有函数对称
积分区域对称性
-
判断积分区域是否具有对称性
- 如果积分区域不对称,那么纵然被积函数是再怎么对称也没用
-
有时原始的积分区域不对称,但是可能可以通过划分区域,得到多个关于不同坐标轴分别对称的子区域
- 这时候就可以再次尝试考虑被积分函数的奇偶性化简计算
可以简化计算的两类情况👺
利用对称性和奇偶性计算
-
被积区域的对称性,且被积函数奇偶性时有如下结论
-
函数具有奇偶性蕴含了定义域对称性,但是为了强调定义域的对称性,往往会单独提定义域或区域对称,然后奇函数和偶函数的映射规则上的特点
-
若积分区域 D D D关于 y y y轴(对于平面坐标系 x O y xOy xOy而言,就是直线 x = 0 x=0 x=0)对称,且被积函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)关于 x x x有奇偶性,则
-
∬ D f ( x , y ) d σ \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma D∬f(x,y)dσ= 2 ∬ D 1 f ( x , y ) d σ 2\iint\limits_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma 2D1∬f(x,y)dσ,
- f ( − x , y ) f(-x,y) f(−x,y)= f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)
-
∬ D f ( x , y ) d σ = 0 \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=0 D∬f(x,y)dσ=0,
- f ( − x , y ) f(-x,y) f(−x,y)= − f ( x , y ) -f(x,y) −f(x,y)
-
其中 D 1 D_1 D1为 D D D在 y y y轴右侧的部分
-
-
-
若积分区域 D D D关于 x x x轴(即直线 y = 0 y=0 y=0)对称,且被积函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)关于 y y y有奇偶性,则
-
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
σ
\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma
D∬f(x,y)dσ=
2
∬
D
1
f
(
x
,
y
)
d
σ
2\iint\limits_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma
2D1∬f(x,y)dσ,
- f ( x , − y ) f(x,-y) f(x,−y)= f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)
-
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
σ
=
0
\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=0
D∬f(x,y)dσ=0,
- f ( x , − y ) f(x,-y) f(x,−y)= − f ( x , y ) -f(x,y) −f(x,y)
- 其中 D 1 D_1 D1为 D D D在 y y y轴右侧的部分
-
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
σ
\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma
D∬f(x,y)dσ=
2
∬
D
1
f
(
x
,
y
)
d
σ
2\iint\limits_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma
2D1∬f(x,y)dσ,
小结
-
可见,若被积函数是奇函数,可以大为化简计算,但是被积函数为偶函数时,化简效果就不那么好,
- 某些情形下,利用偶函数积分性质可以将原本要分段积分的式子合并成一个式子,再乘以2
- 例如积分区间:双曲线 x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2−b2y2=1, ( x > 0 ) (x>0) (x>0)部分的关于 x x x轴对称的两点分别和坐标原点连线,构成的封闭区间积分借助区域对称性和被积函数是偶函数的条件,可以不用分段写
-
综合组合应用以下积分性质,可以简化很多定积分的计算,甚至是对抽象函数作积分计算
分项积分@奇偶性计算
- 有时候积分区域关于 x x x或 y y y轴对称,被积函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)= f 1 ( x , y ) + f 2 ( x , y ) + ⋯ + f n ( x , y ) f_1(x,y)+f_2(x,y)+\cdots+f_n(x,y) f1(x,y)+f2(x,y)+⋯+fn(x,y)
- 其中 f i ( x , y ) f_i(x,y) fi(x,y)中的某些项是关于积分区域的奇函数或偶函数,即便是 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)非奇非偶,仍可以考虑利用积分性质分项积分,将能够利用奇偶性简化计算的部分提前计算
可加性积分@奇偶性计算
- 原积分区域可能不关于任何坐标轴对称
- 但若添加合适的辅助线,将积分区域划分为2部分,两部分分别关于 x , y x,y x,y坐标轴对称
- 被积函数如果满足 x , y x,y x,y的奇偶性,利用定积分的可加性,也可以起到简化计算的效果
双轴对称
-
对称性很强的时候(关于 x , y x,y x,y轴都对称),且被积函数是同时是 x , y x,y x,y的偶函数,可以将积分区域再收缩
-
比如D: ∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 1 |x|+|y|=1 ∣x∣+∣y∣=1;又设被积函数为 ∣ x ∣ |x| ∣x∣,则
- ∬ D ∣ x ∣ d x \iint\limits_{D}|x|\mathrm {d}x D∬∣x∣dx= 4 ∬ D 1 ∣ x ∣ d x 4\iint\limits_{D_1}|x|\mathrm{d}x 4D1∬∣x∣dx= 4 ∬ D 1 x d x 4\iint\limits_{D_1}x\mathrm{d}x 4D1∬xdx,
-
此处, D 1 D_1 D1为积分区域在第一象限的部分,为 x = 0 , y = 0 x=0,y=0 x=0,y=0, x + y = 1 x+y=1 x+y=1所围成的面积
- ∬ D 1 x d σ = ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 − x x d y \iint\limits_{D_1}x\mathrm d\sigma=\int_{0}^{1}\mathrm dx\int_{0}^{1-x}x\mathrm dy D1∬xdσ=∫01dx∫01−xxdy= ∫ 0 1 ( x − x 2 ) ) d x \int_{0}^{1}(x-x^2))\mathrm dx ∫01(x−x2))dx= 1 6 \frac{1}{6} 61
变量的对称性@轮换对称计算
-
若积分区域关于直线 y = x y=x y=x对称
- 则积分区域 D D D的不等式或等式中将 x , y x,y x,y对调后,原等式或不等式不变
- 这类对称下的积分满足: ∬ D f ( x , y ) d σ \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm d\sigma D∬f(x,y)dσ= ∬ D f ( y , x ) d σ \iint\limits_{D}f(y,x)\mathrm d\sigma D∬f(y,x)dσ
-
例如,以下积分区域都是关于 y = x y=x y=x对称的
- x 2 + y 2 ⩽ R 2 x^2+y^2\leqslant R^2 x2+y2⩽R2;半径为 R R R的圆域
- x , y ∈ [ 0 , 1 ] ; x,y\in[0,1]; x,y∈[0,1];第一象限内的边长为1的正方形
-
这条性质某些时候很有用,可以求解具有(轮换)对称形式的被积函数
f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)与 f ( y , x ) f(y,x) f(y,x)空间图形的对称性
-
例图(无限延申的部分用边长为常数 k k k的正方体(由 ( x , y , z = ± k ) (x,y,z=\pm{k}) (x,y,z=±k)六个平面构成)截取 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)的空间图形)
-
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z = e − x + e y z=e^{-x}+e^{y} z=e−x+ey; z = e − y + e x z=e^{-y}+e^{x} z=e−y+ex z = x + y 2 z=x+y^2 z=x+y2; z = y + x 2 z=y+x^2 z=y+x2 z = x − 1 + y 2 z=\sqrt{x-1}+y^2 z=x−1+y2, ( x ⩾ 1 ) (x\geqslant{1}) (x⩾1); z = y − 1 + x 2 z=\sqrt{y-1}+x^2 z=y−1+x2, ( y ⩾ 1 ) (y\geqslant{1}) (y⩾1) z = x + y z=x+y z=x+y; z = x 2 + y 2 z=x^2+y^2 z=x2+y2
-
-
分析
- 从
z
1
=
f
(
x
,
y
)
z_1=f(x,y)
z1=f(x,y)和
z
2
=
f
(
y
,
x
)
z_2=f(y,x)
z2=f(y,x)上的点分析
- 两函数的的映射规则都是 f f f,只是自变量字母不同而已
- 当两函数都取自然定义域时,张成的空间曲面是完全相同(但是位置不同,例如一个关于 x = 0 x=0 x=0平面对称,则另一个就一定关于 y = 0 y=0 y=0面对称);自然定义域(区域)关于直线 y = x y=x y=x对称
- 对于函数 z 1 z_1 z1,若其自变量取值范围 x ∈ I 1 x\in{I_1} x∈I1, y ∈ I 2 y\in{I_2} y∈I2;则对于 z 2 z_2 z2,其自变量 x ∈ I 2 x\in{I_2} x∈I2, y ∈ I 1 y\in{I_1} y∈I1
- 当
z
1
z_1
z1,
z
2
z_2
z2两函数施加约束定义域
D
D
D关于直线
y
=
x
y=x
y=x对称时,对应的曲顶柱体形状相同(位置不同),体积就相等
- 若
P
1
(
a
,
b
,
c
)
P_1(a,b,c)
P1(a,b,c)是
z
1
z_1
z1上的任一点,则存在
P
1
′
(
b
,
a
,
c
′
)
P_1'(b,a,c')
P1′(b,a,c′)在
z
1
z_1
z1上,分别对应方程
f
(
a
,
b
)
=
c
f(a,b)=c
f(a,b)=c
(1); f ( b , a ) = c ′ f(b,a)=c' f(b,a)=c′(2) - 而 z 2 z_2 z2= g ( x , y ) g(x,y) g(x,y)= f ( y , x ) f(y,x) f(y,x),并由式(2)可知, g ( a , b ) g(a,b) g(a,b)= f ( b , a ) f(b,a) f(b,a)= c ′ c' c′,即 P 2 ( a , b , c ′ ) P_2(a,b,c') P2(a,b,c′)存在于 z 2 z_2 z2图形上
- z 2 z_2 z2对于 z 1 z_1 z1亦然
- 因此 z 1 , z 2 z_1,z_2 z1,z2的图形关于 y = x y=x y=x对称
- 若
P
1
(
a
,
b
,
c
)
P_1(a,b,c)
P1(a,b,c)是
z
1
z_1
z1上的任一点,则存在
P
1
′
(
b
,
a
,
c
′
)
P_1'(b,a,c')
P1′(b,a,c′)在
z
1
z_1
z1上,分别对应方程
f
(
a
,
b
)
=
c
f(a,b)=c
f(a,b)=c
- 从而 ∬ D f ( x , y ) d σ \iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ∬Df(x,y)dσ= ∬ D f ( y , x ) d σ \iint_{D}f(y,x)\mathrm{d}\sigma ∬Df(y,x)dσ
- 从
z
1
=
f
(
x
,
y
)
z_1=f(x,y)
z1=f(x,y)和
z
2
=
f
(
y
,
x
)
z_2=f(y,x)
z2=f(y,x)上的点分析
选择合适的坐标系👺
- 选择积分坐标系(😀根据积分区域的特点和被积函数的形式)
直角坐标系
- 关键是将二重积分化为累次积分
- 累次积分又有顺序之分
- 往往根据积分区域和被积函数来确定
- 累次积分又有顺序之分
先 y y y后 x x x
-
D
D
D=
{
(
x
,
y
)
∣
ϕ
1
(
x
)
⩽
y
⩽
ϕ
2
(
x
)
;
a
⩽
x
⩽
b
}
\set{(x,y)|\phi_1(x)\leqslant{y}\leqslant\phi_2(x);a\leqslant{x}\leqslant{b}}
{(x,y)∣ϕ1(x)⩽y⩽ϕ2(x);a⩽x⩽b}
- ∬ D f ( x , y ) d σ \iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma D∬f(x,y)dσ= ∫ a b d x ∫ ϕ 1 ( x ) ϕ 2 ( x ) f ( x , y ) d y \int_{a}^{b}dx\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2{(x)}}f(x,y)dy ∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dy
先 x x x后y
-
D D D= { ( x , y ) ∣ ψ 1 ( y ) ⩽ x ⩽ ψ 2 ( y ) ; a ⩽ y ⩽ b } \set{(x,y)|\psi_1(y)\leqslant{x}\leqslant\psi_2(y);a\leqslant{y}\leqslant{b}} {(x,y)∣ψ1(y)⩽x⩽ψ2(y);a⩽y⩽b}
- ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b d y ∫ ϕ 1 ( y ) ϕ 2 ( y ) f ( x , y ) d x \iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=\int_{a}^{b}dy\int_{\phi_1(y)}^{\phi_2{(y)}}f(x,y)dx D∬f(x,y)dσ=∫abdy∫ϕ1(y)ϕ2(y)f(x,y)dx
极坐标系
-
如果积分区域和圆相关
- 圆/扇环/扇形…
-
被积函数是复合了下列函数的复合函数
-
x
2
+
y
2
,
x
y
,
y
x
\sqrt{x^2+y^2},\frac{x}{y},\frac{y}{x}
x2+y2,yx,xy
(1)
-
x
2
+
y
2
,
x
y
,
y
x
\sqrt{x^2+y^2},\frac{x}{y},\frac{y}{x}
x2+y2,yx,xy
-
因为极坐标中
- x = r cos θ x=r\cos\theta x=rcosθ
- y = r sin θ y=r\sin\theta y=rsinθ
- 上述形式的函数可以消去 r r r或者 θ \theta θ,得到一个一元函数
-
另一类情形是:
- 被积函数是仅含 x 2 , y 2 x^2,y^2 x2,y2的情形,虽然不如(1)中列举的那么方便,但是其过渡到三角表达式后可以进行降次,
- 重积分区间用极坐标表示更简单
确定积分区间
积分次序
- 确定累次积分的次序,根据积分区域和被积函数综合考虑
积分限
- 确定累次积分的积分限
- 在累次积分的过程中,每次只对一个变量进行积分
- 其余被视为常数的因子应当提取到外部,降低干扰和犯错误的几率
应用
例
- I I I= ∬ D x [ 1 + y f ( x 2 + y 2 ) ] d σ \iint_{D}x[1+yf(x^2+y^2)]\mathrm{d}\sigma ∬Dx[1+yf(x2+y2)]dσ,其中 D D D由直线 x = 1 x=1 x=1; x = − 1 x=-1 x=−1; y = x y=x y=x围成的封闭曲线
- 解
- 可以连结原点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)和 ( − 1 , 1 ) (-1,1) (−1,1)两点( y = − x y=-x y=−x的一部分),将 D D D划分为2部分, D 1 , D 2 D_1,D_2 D1,D2,它们分别关于 x , y x,y x,y轴对称
- 将被积函数记为 G ( x , y ) G(x,y) G(x,y)= x [ 1 + y f ( x 2 + y 2 ) ] x[1+yf(x^2+y^2)] x[1+yf(x2+y2)]= x + x y f ( x 2 + y 2 ) x+xyf(x^2+y^2) x+xyf(x2+y2),
- 利用可加性:
I
I
I=
I
1
I_1
I1+
I
2
I_2
I2
-
I
1
I_1
I1=
∬
D
1
G
d
σ
\iint_{D_1}G\mathrm{d}\sigma
∬D1Gdσ
- 考察 G G G(及其分项)关于 y y y的奇偶性
- 虽然
G
G
G不是
y
y
y的奇函数或偶函数,但可以通过分项,探索奇偶性
- x y f ( x 2 + y 2 ) xyf(x^2+y^2) xyf(x2+y2)关于 y y y的奇函数,因此这部分积分为0
- I 1 I_1 I1= ∬ D 1 x d σ \iint_{D_1}x\mathrm{d}\sigma ∬D1xdσ+ ∬ D 1 x y f ( x 2 + y 2 ) \iint_{D_1}xyf(x^2+y^2) ∬D1xyf(x2+y2)= ∬ D 1 x d σ \iint_{D_1}x\mathrm{d}\sigma ∬D1xdσ= ∫ − 1 0 d x ∫ x − x x d y \int_{-1}^{0}\mathrm{d}x\int_{x}^{-x}x\mathrm{d}y ∫−10dx∫x−xxdy= − 2 3 -\frac{2}{3} −32
-
I
2
I_2
I2=
∬
D
2
G
d
σ
\iint_{D_2}G\mathrm{d}\sigma
∬D2Gdσ
- 考察 G G G及其分项关于 x x x的奇偶性
- 函数 G G G关于 x x x是奇函数
- I 2 I_2 I2=0
-
I
1
I_1
I1=
∬
D
1
G
d
σ
\iint_{D_1}G\mathrm{d}\sigma
∬D1Gdσ
- 综上 I I I= − 2 3 -\frac{2}{3} −32
例
-
I
I
I=
∬
D
(
x
−
y
)
2
d
σ
\iint_{D}(x-y)^2\mathrm{d}\sigma
∬D(x−y)2dσ,
D
D
D=
{
(
x
<
y
)
∣
x
2
+
y
2
⩽
1
}
\set{(x<y)|x^2+y^2\leqslant{1}}
{(x<y)∣x2+y2⩽1}
- = ∬ D x 2 − 2 x y + y 2 d σ \iint_{D}x^2-2xy+y^2\mathrm{d}\sigma ∬Dx2−2xy+y2dσ
- = ∬ D x 2 + y 2 d σ \iint_{D}x^2+y^2\mathrm{d}\sigma ∬Dx2+y2dσ+ 0 0 0
- = 4 ∬ D 1 x 2 + y 2 d σ 4\iint_{D_1}x^2+y^2\mathrm{d}\sigma 4∬D1x2+y2dσ
- = 4 ( ∫ 0 π 2 d θ ∫ 0 1 ρ 2 ρ d ρ ) 4(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{1}\rho^2\rho\mathrm{d}\rho) 4(∫02πdθ∫01ρ2ρdρ)
- = π 2 \frac{\pi}{2} 2π
例
-
I
I
I=
∬
D
e
x
−
e
−
y
d
x
d
y
\iint_{D}e^{x}-e^{-y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
∬Dex−e−ydxdy
(1),其中 D D D= { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 ⩽ R 2 } \set{(x,y)|x^2+y^2\leqslant{R^2}} {(x,y)∣x2+y2⩽R2} - 方法1:
- I 1 I_1 I1= ∬ D e x d x d y \iint_{D}e^{x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬Dexdxdy
- I 2 I_2 I2= ∬ D e − y d x d y \iint_{D}e^{-y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬De−ydxdy
- 积分区域关于 y = x y=x y=x对称, I 2 I_2 I2= ∬ D e − x d x d y \iint_{D}e^{-x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬De−xdxdy
-
I
I
I=
∬
D
e
x
d
x
d
y
\iint_{D}e^{x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
∬Dexdxdy-
∬
D
e
−
x
d
x
d
y
\iint_{D}e^{-x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
∬De−xdxdy=
∬
D
e
x
−
e
−
x
d
x
d
y
\iint_{D}e^{x}-e^{-x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
∬Dex−e−xdxdy
(1-1) - 而 G ( x ) G(x) G(x)= e − x − e − x e^{-x}-e^{-x} e−x−e−x是个奇函数,且积分区域关于 x = 0 x=0 x=0对称
- 因此 I I I=0
- 方法2:
- 由于 D D D关于 y = x y=x y=x对称
-
I
I
I=
∬
D
e
y
−
e
−
x
d
x
d
y
\iint_{D}e^{y}-e^{-x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
∬Dey−e−xdxdy
(2) - (1,2)两式相加,
2
I
2I
2I=
∬
D
e
x
−
e
−
x
+
e
y
−
e
−
y
d
x
d
y
\iint_{D}e^{x}-e^{-x}+e^{y}-e^{-y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
∬Dex−e−x+ey−e−ydxdy=
∬
D
e
x
−
e
−
x
d
x
d
y
\iint_{D}e^{x}-e^{-x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
∬Dex−e−xdxdy+
∬
D
e
y
−
e
−
y
d
x
d
y
\iint_{D}e^{y}-e^{-y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
∬Dey−e−ydxdy=
0
+
0
0+0
0+0=
0
0
0
- 由奇偶性可以分别求得: ∬ D e x − e − x d x d y \iint_{D}e^{x}-e^{-x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬Dex−e−xdxdy= 0 0 0; ∬ D e y − e − y d x d y = 0 \iint_{D}e^{y}-e^{-y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0 ∬Dey−e−ydxdy=0
- 从而 I I I= 1 2 0 \frac{1}{2}0 210= 0 0 0
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