CF979E Kuro and Topological Parity 题解

Kuro and Topological Parity

我们考虑在一张染色完成的图里，我们连上了一条边，会有何影响？

\(\bullet\) 在同色节点间连边——明显不会有任何影响。

\(\bullet\) 在异色节点间连边，但是出发点是个偶点（即有偶数条路径以其为终点的节点），终点的路径数增加了，但增加的是偶数，故也无影响。

\(\bullet\) 在异色节点间连边，但是出发点是个奇点，终点的路径数的奇偶态变化，有影响。

故我们只需要考虑状况三即可。

于是我们就可以构造出如下的 DP：

设 \(f[i,j,k,l]\) 表示当前 DP 到了位置 \(i\)，总路径数是 \(j(0/1)\)，且无（有）奇黑点，无（有）奇白点。

下面以位置 \(i+1\) 填入白色为例：

\(\bullet\) 存在至少一个奇黑点（即 \(k=1\)），则对于任意一组其它 \(i-1\) 个节点的连边方式，总有一种方式使得总数为奇，一种方式使得总数为偶（受此奇黑点的控制）。于是就有 \(f[i,j,k,l]\times 2^{i-1}\rightarrow f[i+1,j,k,l]\) 与 \(f[i,j,k,l]\times 2^{i-1}\rightarrow f[i+1,\lnot j,k,\operatorname{true}]\)。

\(\bullet\) 不存在奇黑点（即 \(k=0\)），则无论怎么连，\(i+1\) 的奇偶性都不会变化，始终为奇态（被看作是以它自己为起点的路径的终点）。故有 \(f[i,j,k,l]\times 2^i\rightarrow f[i+1,\lnot j,k,\operatorname{true}]\)

填入黑色则同理。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod=1e9+7;
const int N=110;
int n,p,res;
int a[N],f[N][2][2][2],bin[N];
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n>>p;
	bin[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		bin[i]=(bin[i-1]<<1)%mod;
	}
    f[0][0][0][0]=1;
    for(int i=0;i<n;i++)
	for(int j=0;j<2;j++)
	for(int k=0;k<2;k++)
	for(int l=0;l<2;l++){
		if(!f[i][j][k][l]) continue;
		int tmp=f[i][j][k][l];
		if(a[i+1]!=0){
			if(k){
				(f[i+1][j][k][l]+=tmp*bin[i-1]%mod)%=mod;
				(f[i+1][j^1][k][true]+=tmp*bin[i-1]%mod)%=mod;
			}else (f[i+1][j^1][k][true]+=tmp*bin[i]%mod)%=mod;
		}
		if(a[i+1]!=1){
			if(l){
				(f[i+1][j][k][l]+=tmp*bin[i-1]%mod)%=mod;
				(f[i+1][j^1][true][l]+=tmp*bin[i-1]%mod)%=mod;
			}else (f[i+1][j^1][true][l]+=tmp*bin[i]%mod)%=mod;
		}
	}
    for(int k=0;k<2;k++) for(int l=0;l<2;l++) (res+=f[n][p][k][l])%=mod;
    cout<<res;
    return 0;
}