线性时间构造最大堆

堆

堆：是一个数组，近似的完全二叉树，除了最底层外，该树是完全充满的.

最小堆：A[i] <= A[2i] && A[i] <= A[2i+1]

最大堆：A[i] >= A[2i] && A[i] >= A[2i+1]

下标从1开始算起

维护堆

max_heapify(A, i):维护最大堆的性质，让A[i]的值逐级下降

    if 2*i <= len(A) and A[2*i] > A[i]:
        largest = 2*i
    else:
        largest = i
    if 2*i+1 <= len(A) and A[2*i+1] > A[i]:
        largest = 2*i+1
    else:
        largest = i
    if largest != i:
        A[i],A[largest] = A[largest],A[i]
        max_heapify(A,largest)

时间复杂度：（见算法导论第三版6.2节）

对于一个以i为根节点、大小为n的子树，交换值的代价为O(1)，加上，以i的一个孩子为根节点的子树运行max_heapify的时间，每个孩子的子树的大小至多为2n/3（最坏情况发生在树的最底层恰好半满的时候）

这儿的2n/3的推导：

1、假设有一个包含n个元素的堆， 计算高度为 h=k 的节点数的上限
2、假设有一个完全二叉树，其中底层正好半满，即有x个节点。我们可以通过添加x个节点来构造一个满二叉树
3、满二叉树的大小为 n + x = 2x * 2 - 1 = 4x - 1 。因此，我们有 n = 3x - 1，进而 x = (n + 1) / 3。
4、在满二叉树中，第i层的节点数目为 (满树大小 - 1) / 2。代入上述结果，我们得到 2x - 1 = 2n/3 - 1/3 < 2n / 3。
因此，在一个最大堆中，节点i的子树大小至多为2n/3

由此，

T(n) ≤ T(2n/3) + O(1) ---->  T(n)=O(lg n)

即对于一个树高为h的节点，该操作的时间复杂度是O(h)。

建堆

最大堆：自底向上
build-max-heap(A):从最后一个非叶子节点开始，逐级向上维护最大堆的性质

A.heap-size = len(A)
for i in range(len(A)//2,0,-1):
    max_heapify(A,i)

时间复杂度

初看是O(n lgn),精确是：O(n)

1、高为h的 至多节点个数

2、线性时间构造最大堆

这儿推导不是很明白！！！再看！！！

堆排序

heapsort(A):

build-max-heap(A)
for i in range(len(A),1,-1):
    A[1],A[i] = A[i],A[1]
    A.heap-size = A.heap-size - 1
    max_heapify(A,1)