Compactness

紧性(Compactness)是讨论一般集合X时常常提到说的术语，那么，当你说一个集合“紧”时，你到底在说它有什么性质？为什么你对那些有紧性的集合感兴趣，而对“不紧”的集合却很头疼？

翻开经典的泛函教科书，比如夏道行的《实变函数论与泛函分析》下册第79页说，度量空间R中的致密集A是指凡A中序列皆有子列收敛于R，而若A是闭集，则这些收敛的子列必收敛到自己中某点，此时，A可称紧集，即致密闭集就是紧集。第87页继续说，集合A是紧集的充要条件是，A中任意一列都有子列收敛于A内某点，这等于是重复说了一下定义。Kreyszig的《Introductory functional Analysis with Applications》第77页给出的定义与此类似。而E.A.OK 在《Real Analysis with economic applications》中对compactness的定义则是从open cover 出发：A metric space X is said to be compact if every open cover of X has a finite subset that also covers X.换句话说，如果X可被一组开集(统称为一个open cover)覆盖住，则若X是紧空间的话，X也一定可被该open cover中有限个子集覆盖住。

如果你有好奇心，一定会对上面的定义感到奇怪，直观上说，为什么具有这种性质的集合或空间要称为compact呢？这个定义与closed set, complete set，dense set有何不同呢？

首先，可以在这里看到对第一个问题的一些回答。其中最直观的有这么几个，
1. Tom Boardman: 在一个度量空间中，你若要从一点A移动到B，最坏的情况是遍历整个空间，在每个遍历的位置中心放一个开集，这样你实际上用无穷个开集构造了一个开覆盖 －－ 但若X是紧空间，这件费力的事决不会发生，你总可走有限步即可到达目标，that's very nice!，所以，Compact实际上表示这个空间很小，可以掌控，因为这空间中任意两点总可在有限步内到达，所以我们喜欢它。

2.Charles Matthews: non-compact的意思是可以“走向无穷”，比如在一条直线上任何一点出发，你向右或向左都可走向无穷，这样的集合就不是compact的，所谓compact就是想各种办法来“套住”你，让你不能走向无穷，比如把这条线绕成一个圈。从这个意义上，有限个开集cover整个X，或收敛的子序列，都是施加这种约束，即不让你走向无穷的手段。为什么你不想走向无穷？想像一个不紧集上的连续函数，由于你可以在定义域上走向无穷，该函数可能unbounded,或者即使bound，也没有最大或最小值，这是我们不希望的。

3. E.OK: 直接说到了点子上： the power of compactness is:  providing a finite structure for infinite sets. 深刻而有洞见。（注意我们这里始终讨论的是集合的大小，不是集合所在的空间，比如，有限集是指这个集合的元素个数是有限个，并非说元素是有限维的，实际上每个元素都可以是无穷维空间中的居民)。我们为什么要finite structure for inifinte set? -- 这样你就可以把在有限集 上得到到结论很容易地推广到无穷集上去。Terry Tao 关于这个有深刻的理解，比如在有限集上，你从局部性质就可推知这个集合的整体性质，例如，我们可以在有限集X上断言，一切的实函数都是有界的，为什么，因为任何实值函数在每一点（local）上总是有界的，因为是有限个局部，因此你可以从中选出最大的作为界，这样，你可以说任何函数在整个X上（global）都是有界的, 此即有限集合上的local-global原则。现在给你一个无穷集合X, 问是否任意实值函数仍然是有界的，你当然说不是，但若 X 是紧空间，且 f(x) 是定义在 X 上的连续实值函数，答案就彻底相反。因为 compact space has a finite structure, while you don't have to worry about the boundary between local structure since the function is continous。换言之，
由连续性我们知道 f(x）在 X 的open cover 的每个 open set (局部) 上是稳定的（有界的），而X由有限个这样的 openset 所 cover，因此总体上f(x)仍然是稳定的。换言之，在紧集上，我们只需加上必要的关于open set的性质，local to global 的principle 仍然适用，that's really nice!

Now, 既然我们已经明白了紧性是一个好东西，那么下一步就是，给你一个集合，你怎么知道它是紧的？在有限维赋范无穷集上，如，R^n中，一个结论很简单，就是如果这个子集是闭集且有界，那么它就是紧的。这可从R^n空间上获得直观验证，因为由Bolznao-Weierstrass定理，任何一个有界实序列一定有收敛子序列，因此在n维欧氏空间中，有界＋闭集＝致密＋闭集＝紧集。事实上，Heine-Borel定理说，n维欧氏空间上的任何有限大小的“立方体”(cube)都是compact。此外，连续映射可以保持集合的紧性。在无穷维空间，如函数空间中，紧性比较难搞。

最后，提醒一下，完备集说的是是否所有的柯西列都收敛到本集合中，闭集说的是是否每个收敛列都收敛到自身，由于柯西列都是收敛列，因此完备集总是闭集。但闭集总是完备集吗？ 不一定，若一个空间本来就不是完备的，比如说实数集Q, 我们取属于[0,1]范围内的实数，显然它是闭集，但不是完备集。

因此，
1. 完备集 <> 紧集，因为complete -> closed, but may not be bounded，例如直线R 是完备的，但不紧，而且太大，所以不compact。注意，不完备空间中X的闭集Y不一定完备，因为可能存在Y中的柯西列，其极限不在Y中，但这并不影响Y是闭集，因为柯西列并非一定是收敛列（在Y中，但是Y中的收敛列一定是柯西列）。上述讨论参见E.Ok书第167页。
2. 基于同样理由，完备＋ 有界 <> compact , 例如 包含无穷多个点的离散空间是有界且完备的，但你无法用有限个openset 去cover它，not compact. 
3. 而 closed + boundness = compactness 也仅在有限维中成立。
4. 最后，用一句话来说什么是compact set － a superior closed set, they are still closed set but much stronger than that, eg. they are bounded in R^n as well.