树的重心和直径

树的重心

1.以重心为树根时，所有子树的大小不超过全树大小的一半。

2.树中所有点到某个点的距离和中，重心的距离和是最小的，如果有两个重心，那么到它们的距离和一样。

3.把两棵树通过一条边相连得到一棵新的树，那么新的树的重心在连接原来两棵树的重心的路径上。

4.在一棵树上添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。

void getcenter(int u, int fa)
{
	size[u] = 1, sub[u] = 0;
	for (int i = hd[u]; i; i = g[i].nxt)
	{
		int v = g[i].to;
		if (v == fa)continue;
		getcenter(v, u);
		size[u] += size[v];
		sub[u] = max(sub[u], size[v]);
	}
	sub[u] = max(sub[u], n - size[u]);
	if (sub[u] < sub[center] || (sub[u] == sub[center] && u < center))
		center = u;
	return;
}

 

树的直径

性质：在一棵树上距离任何一个点最远的点一定是直径的某一端点。

void dfs(int u, int f)
{
	fa[u] = f;
	if (dis[u] > dis[far])
		far = u;
	for (int i = hd[u]; i; i = g[i].nxt)
	{
		int v = g[i].to, w = g[i].val;
		if (v == f) continue;
		dis[v] = dis[u] + w;
		dfs(v, u);
	}
	return;
}
dis[1] = 0, dfs(1, 0);
dis[far] = 0, dfs(far, 0);

 

树的中心

定义：以树的中心为根，所有叶子结点到树根的最大距离最小。

性质：在树的直径上。如果树的边权相等则为直径中点，否则趋于直径中点。