LIS

动态规划

特点：用动规方法求解可以得到LIS的路径，时间复杂度为n^2

状态：dp[ i ] 为以 a[ i ] 为结尾的最长子序列大小，初始值都为 1

状态转移方程：dp[ i ] = max( dp[ j ] ) + 1 （限制条件：j < i && a[ j ] < a[ i ] ）

代码

for  ( int  i  =  1 ;  i  <=  n ; i++ )
    {
        dp [ i ]  =  1 ;
        for  ( int  j  =  1 ;  j  <  i ;  j++ )
        {
            if  ( a [ j ]  <  a [ i ] )
            {
                dp [ i ]  =  max ( dp [ i ] ,  dp [ j ]  +  1 ) ;
            }
        }
    }

贪心/二分

特点：无法得到LIS路径，时间复杂度为nlogn

状态：g[ i ] 数组表示长度为 i 的所有上升子序列结尾的最大值

维护：遍历数组a，对于元素 a[ i ] ，如果有 g[ len ] < a[ i ] ，则 g[ ++len ] = a[ i ] ，如果有 g[ len ] >= a[ i ] ，那么就要在g数组中找到第一个比 a[ i ] 大的数并替换成 a[ i ] （贪心的性质，如果结尾越小越有利于后续数字的插入）。查找的过程用二分查找。

代码

  int  len  =  0 ;  g [ ++len ]  =  a [ 1 ] ;
    for  ( int  i  =  2 ;  i  <=  n ;  i++ )
    {
        if  ( a [ i ]  >  g [ len ] )  g [ ++len ]  =  a [ i ] ;
        else  {
            int  pos  =  lower_bound ( g + 1 , g + len + 1, a[ i ] )  -  g ;
            g [ pos ]  =  a [ i ] ;
        }
    }

Dilworth定理

不上升子序列的个数等于最长上升子序列的长度。

不下降子序列的个数等于最长下降子序列的长度。