根据旋转前后的向量值求旋转矩阵

如果已知旋转前后的一向量的变化,那么该如何求这个旋转矩阵呢?本篇结合Rodrigues' rotation formula,介绍一下该旋转矩阵的求法。

1.旋转角度

已知旋转前向量为P, 旋转后变为Q。由点积定义可知:

image可推出P,Q之间的夹角为:

image

2. 旋转轴

由1中可知,旋转角所在的平面为有P和Q所构成的平面,那么旋转轴必垂直该平面。

假定旋转前向量为a(a1, a2, a3), 旋转后向量为b(b1, b2, b3)。由叉乘定义得:

image

所以旋转轴c(c1, c2, c3)为:

image

3.  罗德里格旋转公式(Rodrigues' rotation formula)

3.1 公式

已知单位向量Inline3 , 将它旋转θ角。由罗德里格旋转公式,可知对应的旋转矩阵Inline5

image

其中I是3x3的单位矩阵,

omega^~ 是叉乘中的反对称矩阵r:

NumberedEquation1

3.2 公式证明

假设在坐标系(x, y, z)中,向量v=ax+by+cz,v绕z轴逆时针旋转θ角后得到新的向量v’。

img1

根据2维(x,y)面上的旋转公式可得:

image

推出:

image 已知:

image将上式带入v’的公式:

image  将cz替换掉,可得:

image

将上式中的叉乘表示为反对称矩阵得:

image

另外:

image

最终可以推出:

image

上式即为罗德里格旋转公式。

 

4. 求旋转矩阵

根据旋转前后的两个向量值,使用上面的方法,先求出旋转角度和旋转轴,然后用罗德里格旋转公式即可求出对应的旋转矩阵。

C#的实现代码如下:

void Calculation(double[] vectorBefore, double[] vectorAfter)
{
    double[] rotationAxis;
    double rotationAngle;
    double[,] rotationMatrix;
    rotationAxis = CrossProduct(vectorBefore, vectorAfter);
    rotationAngle = Math.Acos(DotProduct(vectorBefore, vectorAfter) / Normalize(vectorBefore) / Normalize(vectorAfter));
    rotationMatrix = RotationMatrix(rotationAngle, rotationAxis);
}

double[] CrossProduct(double[] a, double[] b)
{
    double[] c = new double[3];

    c[0] = a[1] * b[2] - a[2] * b[1];
    c[1] = a[2] * b[0] - a[0] * b[2];
    c[2] = a[0] * b[1] - a[1] * b[0];

    return c;
}

double DotProduct(double[] a, double[] b)
{
    double result;
    result = a[0] * b[0] + a[1] * b[1] + a[2] * b[2];

    return result;
}

double Normalize(double[] v)
{
    double result;

    result = Math.Sqrt(v[0] * v[0] + v[1] * v[1] + v[2] * v[2]);

    return result;
}

double[,] RotationMatrix(double angle, double[] u)
{
    double norm = Normalize(u);
    double[,] rotatinMatrix = new double[3,3];
    
    u[0] = u[0] / norm;
    u[1] = u[1] / norm;
    u[2] = u[2] / norm;

    rotatinMatrix[0, 0] = Math.Cos(angle) + u[0] * u[0] * (1 - Math.Cos(angle));
    rotatinMatrix[0, 0] = u[0] * u[1] * (1 - Math.Cos(angle) - u[2] * Math.Sin(angle));
    rotatinMatrix[0, 0] = u[1] * Math.Sin(angle) + u[0] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));

    rotatinMatrix[0, 0] = u[2] * Math.Sin(angle) + u[0] * u[1] * (1 - Math.Cos(angle));
    rotatinMatrix[0, 0] = Math.Cos(angle) + u[1] * u[1] * (1 - Math.Cos(angle));
    rotatinMatrix[0, 0] = -u[0] * Math.Sin(angle) + u[1] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));
      
    rotatinMatrix[0, 0] = -u[1] * Math.Sin(angle) + u[0] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));
    rotatinMatrix[0, 0] = u[0] * Math.Sin(angle) + u[1] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));
    rotatinMatrix[0, 0] = Math.Cos(angle) + u[2] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));

    return rotatinMatrix;
}

 

posted @ 2013-02-15 16:46  马语者  阅读(38601)  评论(6编辑  收藏