算法第3章上机实践报告

1.实践题目

7-1 数字三角形 （30 分）

给定一个由 n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形 的顶至底的一条路径(每一步可沿左斜线向下或右斜线向下)，使该路径经过的数字总和最大。

输入格式:

输入有n+1行：

第 1 行是数字三角形的行数 n，1<=n<=100。

接下来 n行是数字三角形各行中的数字。所有数字在0..99 之间。

输出格式:

输出最大路径的值。

输入样例:

在这里给出一组输入。例如：

5 
7 
3 8 
8 1 0 
2 7 4 4
4 5 2 6 5 

输出样例:

在这里给出相应的输出。例如：

30

 

2.问题描述

输入一个数n代表n行，由 n行数字组成一个数字三角形，每行的元素个数i满足i=n(n是行数)。设计一个算法，计算出从三角形 的顶至底的一条路径(每一步可沿左斜线向下或右斜线向下)，使该路径经过的数字总和最大。

 

3.算法描述

采用自底向上的方法计算最大值，用b[i][j]表示从第n行到第i行的路径所经过的最大数字总和，首先将第n行赋值给b[n][j],然后自底（n-1行开始）向上，利用递推公式b[i][j]=a[i][j]+max{b[i+1][j],b[i+1][j+1]}, 就可以求出结果了，最后返回b[1][1]即可。

代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;

int max(int a,int b){
  return a>b?a:b;
}

int Maxcount(int a[101][101],int n){
  int b[101][101];
 for (int j=1;j<=n;j++){
      b[n][j]=a[n][j];
}
for(int i=n-1;i>=1;i--){
  for(int j=1;j<=i;j++){
   b[i][j]=a[i][j]+ max(b[i+1][j],b[i+1][j+1]);
  }
}
return b[1][1];
}

int main(){
  int n;
  int a[101][101];
  cin>>n;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=i;j++){
      cin>>a[i][j];
  }
}
 cout<<Maxcount(a,n);
return 0;
}

 

4.算法时间及空间复杂度分析（要有分析过程）

由以下两个for循环可知该算法时间复杂度是O (n^2)，空间复杂度O(n^2)

for(int i=n-1;i>=1;i--){
   for(int j=1;j<=i;j++){
    b[i][j]=a[i][j]+ max(b[i+1][j],b[i+1][j+1]);
  }
}

 

5.心得体会（对本次实践收获及疑惑进行总结）

本次实践让我对动态规划有了进一步的了解，在与同学讨论的过程中，也学习到了很多以前没学好的知识点，比如递归方法，在partner的帮助下，我也会用递归去解决问题了；但是对于动态规划的知识还是不能熟练运用，看完题目的时候不能马上想到方法，又或者是有大概的思路，但是写出来后就是有很多bug，在改bug的过程中也花了不少时间，结果一节课下来才做了一道题。希望下次会有进步。