【校理】圆锥曲线在平面内的统一方程

校理说明:此文档原整理自贴吧的帖子,作者是实验室之殇(贴吧用户)。现在查找来源时,原帖已搜不到,但可以搜到作者自己在百度文库上传的文档,内容相同(补了一张图)。特此说明。内容有待核实,改日补注。

圆锥曲线的一般方程

\[Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0 \]

体现了圆锥曲线的普遍性质,但同时也包含了其退化形式,如圆、直线等。这里我们所要做的,是用能够体现圆锥曲线的三种形式(椭圆、双曲线、抛物线)的特征的参数(离心率 、焦点、焦准距、倾斜角)在平面内表示出任意的圆锥曲线。

首先,需要用到圆锥曲线在极坐标中的标准方程

\[\rho=\frac{e\rho}{1-e\cos\theta}\quad(e>0,p>0) \]

这个方程表示一个轴所在直线与极轴所在直线重合的圆锥曲线。其中极点为抛物线焦点,或椭圆左焦点,或抛物线右焦点。

这里我们规定其轴的方向向量\(\vec{n}\),方向向右(即极轴的正方向),方便后文的解释说明。

现在将方程对应的曲线绕极点逆时针旋转\(\alpha\)角(\(0\leq\alpha<2\pi\)),此时方程变为

\[\rho=\frac{ep}{1-e\cos(\theta-\alpha)} \]

与极轴的夹角对应为\(\alpha\)。展开方程,化简为

\[\rho(1-e\cos\theta\cos\alpha-e\sin\theta\sin\alpha=ep \]

以极轴端点为原点,极轴为\(x\)轴方向,建立平面直角坐标系,则有

\[\begin{cases}\rho\cos\theta=x\\\rho\sin\theta=y\end{cases} \]

代入方程,化简,得到如下方程:

\[e|x\cos\alpha+y\sin\alpha+p|-\sqrt{x^2+y^2}=0 \]

横向平移\(g\)个单位,纵向平移\(h\)个单位,使圆锥曲线焦点从\((0,0)\)平移到\((g,h)\),对应方程为:

\[e|(x-g)\cos\alpha+(y-h)\sin\alpha+p|=\sqrt{(x-g)^2+(y-h)^2} \]

以上所得方程即为圆锥曲线在平面内的统一方程(以\(e\)为离心率,\(p\)为焦准距)。

  1. \(e>1\)时,表示以\(F(g,h)\)为一个焦点,\(\alpha\)\(\vec{n}\)与极轴所夹角的双曲线。
  2. \(e=1\)时,表示以\(F(g,h)\)为焦点,\(\alpha\)\(\vec{n}\)与极轴所夹角的抛物线。
  3. \(e<1\)时,表示以\(F(g,h)\)为一个焦点,\(\alpha\)\(\vec{n}\)与极轴所夹角的椭圆。

同时,我们也可看到,当\(e=0\)时,方程表示点\(F(g,h)\)。这是圆锥曲线的一种退化形式。

分析这个方程,可以发现仅有五个参数\((e,p,\alpha,g,h)\),就可以在平面内表示任意一个圆锥曲线,这恰能说明平面内五点可以确定一个圆锥曲线。(不包含其退化形式)

此外,根据这个方程还可以推导出其他相关量。如\(F(g,h)\)对应的准线方程

\[\frac x{\tan\alpha}+y+p\sqrt{1+\frac1{\tan\alpha}}-\frac g{\tan\alpha}-h=0 \]

\(\vec{n}\)所在直线方程:

\[(x-g)\tan\alpha=y-h. \]

posted @ 2019-02-03 10:21  黑山雁  阅读(667)  评论(0编辑  收藏

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