随笔分类 - 数学-容斥原理
摘要：题意:有N朵花,在M种颜色中选择恰好k种不同的颜色,将这N朵花染色,要求相邻的两朵花颜色不相同. 分析:若限制改为选择不超过k种颜色将N朵花朵染色,则方案数$f(N,k) = k (k 1)^{N 1}$,第一朵可以在k个颜色中任意选择,第二朵可以有k 1个选择,第三朵也有k 1.... 但是f(N
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摘要：题意:给N个数,不重复地选3个数,求能够组成的数有多少种选法. 分析:若只选两个数就比较好求,FFT后减去两个相同的数构成的情况,再将每种情况除2(2个数排列有两种不同可能)即可. 选3个数也是类似地用容斥的方法计算,首先无限制地情况下,多项式中多计算了两个数相同和3个数相同的情况.有式:$\sum
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摘要：题意:一个N M的场地,有K个人要站到场地上去,遵循以下条件: 1) 一个格子只能站一个人 2) 首行,末行以及首列,末列都必须有人站 求有多少种方案(人可以看做无区别). 分析:直接统计符合的方案数不太容易,可以反过来计算不符合的方案数,再用全部方案数减去. 不符合的方案数用容斥的方法计算.设二进
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摘要：题意：K个不同数组成的集合，每个数都不超过S且它们的gcd 1。求这样的数的个数 分析：从2开始枚举gcd，但这样会发生重复。譬如，枚举gcd=2的集合个数和gcd=3的集合个数，枚举6的时候就重复了，所以对于6，10这种质因子个数为2的，要减去。而对于4，8，9这样同一质因子出现超过1次的，不用考
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摘要：可推出$a_n = n^2+n, $ 设$S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i$ 则 $S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$ 需要求出$[1,N]$中与$M$互质的下标的和 可以容斥计算答案,$O(1)$时间算出$S_n$,需要
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摘要：题意：求$1 N(1\le N \le 1e18)$中，能表示成$M^k(M 0,k 1)$的数的个数 分析：正整数p可以表示成$p = m^k = m^{r k'}$的形式，其中k'为素数。枚举幂k，求出满足$p^k\le N$的最大的$p$,则对于当前的$k$,任意小于$p$的正整数$p'$，都
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摘要：这道题和 HDU 1695不同的是，a,c不一定是1了。还是莫比乌斯的套路，加上容斥求结果。 设$F（n,m,k）$为满足$gcd(i,j)=k(1\leq i\leq n,1\leq j\leq m)$的对数。则$ans = F(b,d,k) F(a 1,d,k) F(c 1,b,k)+F(a 1
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摘要：题意：统计区间[L,R]中满足模7余0，且对所有N个数对（mi,ri）使得 x != ri (mod mi) 的x的数量。 分析：x == ri (mod mi)可以转化为模线性方程。枚举满足k(1<=k<=n)个线性方程构成方程组的解在区间[L,R]中的个数。需要减去这些数目，所以根据容斥原理，奇
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摘要：题意：有N个盒子，每个盒子里有fi 朵花，求从这N个盒子中取s朵花的方案数。两种方法不同当且仅当两种方案里至少有一个盒子取出的花的数目不同。 分析：对 有k个盒子取出的数目超过了其中的花朵数，那么此时的方案数根据放球模型是C(N+t-1,N-1)，其中t是s-(k个盒子超过其数目的最小数量)。显然t
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摘要：题意：初始序列[1..N](1<=N<=4e5)，支持两种操作：1.求区间[x,y]内与p互素的数之和； 2。将x位置的数变为c。 分析：很容易把人骗到线段树的思维中，而实际上操作2单点的修改可以用map去记录，之后统计和的时候再去检查是否有给定区间内的数被修改。 区间[x,y]内与p互素的数之和，
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摘要：题意：求区间1<=i<=b与区间1<=j<=d之间满足gcd(i,j) = k 的数对 (i,j) 个数。(i,j)与(j,i) 算一个。 分析：gcd(i,j)=k可以转化为gcd(i/k,j/k)=1。枚举每个1<=i<=b/k 的 i，用容斥原理统计区间[1,d]中与其互素的个数。需要预处理筛
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摘要：题意：求[1，N-1]中有多少能被集合M中的任意一个数整除。 分析：运用容斥原理解决。二进制枚举N-1中能被1个，2个...M个数整除的个数，奇加偶减。 每次N-1除以若干个数的lcm得到区间[1,N-1]中能被这若干个数整除的个数。 注意M中有可能出现0，0是不能整除任何数的，跳过即可。
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摘要：题意：问有多少种不重复的m个数，值在[0,n-1]范围内且和为k。 分析：当k<=n-1时，肯定不会有盒子超过n，结果是C(m+k-1,k)；当k>m*(n-1)时，结果是0。 剩下的情况，可以转化为组合数学中的放球问题，球与球之间没有区别，盒子之间有区别且每个盒子不超过n-1个球。 根据容斥原理得
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