极限、连续相关
一、极限概念
1、极限定义
定义1：$$\lim_{n \to + \infty}x_n=A$$
- \(\forall_\epsilon>0，\exists_\varepsilon\)正整数N，当 n > N 时，有 \(| x_n-A|< \varepsilon\)。
- 若 \(x_n\)存在极限（有限数），又称\(\{x_n\}\)收敛，否则称\(\{x_n\}\)发散。
定义2：$$\lim_{x \to \infty}f(x)=A$$
- $\forall_\epsilon>0，\exists $ 正整数X，当 |x| > X 时，有 \(| f(x)-A|<\varepsilon\)。
- 类似可定义：
定义3：$$\lim_{x \to x_0}f(x)=A$$
- \(\forall_\epsilon>0，\exists_\varepsilon\)正整数 \(\delta\)，当 $ 0< |x-x_0|< \delta$ 时，有 \(| f(x)-A|<\varepsilon\)。
- 类似可定义f(x)当\(x \to x_0\) 时右极限与左极限：
2、极限的基本性质
（1）数列极限的基本性质
定理1：(极限的不等式性质)，设
- 若 a > b，则\(\exists N\)，当 n > N 时，\(x_n > y_n\)；
- 若 n > N 时，\(x_n \geq y_n\)，则 \(a \geq b\)。
定理2：（收敛数列的有界性），设 \(x_n\) 收敛，则 \(x_n\) 有界（即 \(\exists\) 常数M > 0，$ |x_n| \leq M $，n = 1,2,...）
（2）函数极限的基本性质
定理3：（极限的不等式性质），设
- 若 A > B，则 \(\exists \delta >0\)，当 $ 0< |x-x_0|< \delta $ 时，f(x) > g(x)；
- 若 \(f(x) \geq g(x)(0<|x-x_0|<\delta)\) ，则 \(A \geq B\) 。
推论：（极限的保号性），设
- 若 \(A > 0 \implies \exists \delta > 0\)，当 \(0<|x-x_0|< \delta\) 时，f(x) > 0;
- 若 \(f(x) \geq 0 (0<|x-x_0|< \delta)\) ，则 \(A \geq 0\) 。
定理4：（存在极限的函数局部有界性），设存在极限
则f(x)在\(x_0\)的某空心领域\(U_0(x_0, \delta)= \{ x| 0<|x-x_0|< \delta \}\) 内有界，即 \(\exists \delta > 0\)，M > 0，使得 \(0< |x-x_0|< \delta\) 时，\(|f(x)| \leq M\) 。
（3）两个重要极限
二、极限存在性判别
1、两边夹定理(夹逼定理)
定理5：（数列情形）
若 \(\exists N\) ，当 n > N 时，\(y_n \leq x_n \leq z_n\)，且有
定理6：（函数情形）
当 \(x \in U(x_0,r)\) 时，有\(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\)成立，并且
（1）三角函数边与角度的关系
- tanx = 对边 / 临边
- sinx = 对边 / 斜边
- cosx = 临边 / 斜边
- cotx = 临边 / 对边
（2）极限案例
注意：由于弧长=圆心角*半径，因此弧\(\mathop{AB}\limits^{\frown}\)长度为x；另外线段OC的长度为cosx，BC线段长度为sinx；由于tanx=对边/临边，因此AD线段长度为tanx。
- 因此：sinx：\(\sin x<x<\tan x\)，\(x \in U(x_0, \varepsilon)\)
- 从而：\(1 < x/ \sin x < 1/ \cos x\)
- 即：\(\cos x < \sin x /x < 1\)
- 因为：$$\lim_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = 1$$
- 从而：$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$$
- 该式将
三角函数和多项式建立了极限关系
（3）思考平方
同理上式的平方依然是1，即：
2、单调有界数列必有极限（必收敛）
定理7：
-
若数列 \({x_n}\) 单调上升有上界，即\(x_{n+1} \geq x_n\) (n=1,2,...)，并存在一个数M，使得对一切的 n 有$ x_n \leq M $，则 \(\{x_n\}\) 收敛，即存在一个数a，使得 $$ \lim_{n \to + \infty}x_n = a $$ 且有 $ x_n \leq a (n =1,2,...)$。
-
若数列 \({x_n}\) 单调下降有下界，即\(x_{n+1} \leq x_n\) (n=1,2,...)，并存在一个数m，使得对一切的 n 有$ x_n \geq m $，则 \(\{x_n\}\) 收敛，即存在一个数a，使得 $$ \lim_{n \to + \infty}x_n = a $$ 且有 $ x_n \leq a (n =1,2,...)$。
案例：构造数列\(\{ x_n \}\)
（1）广义二项式定理
二项式定理（英语：binomial theorem），又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。
根据定理，可以将x+y的任意次幂展开成和的形式：
每个\(\bigl( \begin{matrix} n \\ k\end{matrix} \bigr)\)为一个称作二项式系数的特定正整数，其等于\(\frac{n!}{k!(n-k)!}\)。
这个公式也称为二项式公式或二项恒等式，使用求和符号，可改写为：
其中
3、单侧极限与双侧极限关系
定理8：
对于分段函数
考察 $$ \lim_{x \to x_0}f(x) $$ 是否存在就要分别求：
三、无穷小及其阶
1、无穷小和无穷大的定义
定义1：在某一极限过程中以零为极限的变量称为无穷小（量）。
- 称 \(x_n\) 为无穷小，若 $$ \lim_{n \to +\infty}x_n=0 $$ 记为 \(x_n= o(1)(n \to + \infty)\)
- 称 \(x \to x_0\) 时 f(x) 为无穷小，若 $$ \lim_{x \to x_0}f(x)=0 $$ 记为 $ f(x)=o(1),x \to x_0 $
定义2：
- 称 $ x_n $ 为
无穷大（量）$$ \lim_{n \to + \infty}x_n= \infty $$
若 $ \forall M > 0 \(，\) \exists $ 自然数N，当 n > N 时，$ |x_n| > M $。 - 称 \(x \to \infty\) 时，f(x)为
无穷大（量）$$ \lim_{x \to \infty}f(x)= \infty$$
若 $ \forall M > 0 \(，\) \exists X > 0$，当 $ |x| > X $ 时，$ |f(x)| > M $。 - 称 $ x \to x_0 $ 时 f(x) 为
无穷大（量）$$ \lim_{x \to x_0}f(x) = \infty$$
若 $ \forall M > 0 \(，\) \exists \delta > 0$ ，当 \(0<|x-x_0|< \delta\) 时，\(|f(x)|> M\)
2、无穷小与无穷大，无穷小与极限的关系
在同一个极限过程中，
\(
\bigg\{ \begin{matrix}
f(x)为无穷小,f(x) \neq0,则 \frac{1}{f(x)}为无穷大 \\
f(x)为无穷大,则 \frac{1}{f(x)}为无穷小
\end{matrix}
\)
3、无穷小阶概念
定义3：设在同一个极限过程中，$ \alpha(x), \beta(x)$ 为无穷小且存在极限 $$ \lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=l $$
- 若 $ l \neq 0 $，称 $ \alpha(x), \beta(x) $ 在该极限过程中为
同阶无穷小； - 若 $ l = 1 $，称 $ \alpha(x), \beta(x) $ 在该极限过程中为
等阶无穷小，记为 $ \alpha(x) $ ~ $ \beta(x) $ （极限过程）； - 若 $ l = 0 \(，称在该极限过程中\) \alpha(x) 是 \beta(x) $ 的
高阶无穷小，记为 $ \alpha(x) = o( \beta(x)) $ （极限过程）.- 若 $$ \lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}= \infty $$ 称 \(\beta(x) 是 \alpha(x)\) 的高阶无穷小。
- 若 $$ \lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} 不存在（不为 \infty）$$ 称 \(\alpha(x)，\beta(x)\) 不可比较。
定义4：设在同一个极限过程中 $ \alpha(x), \beta(x)$ 为无穷小，以$ \alpha(x) $ 为基本无穷小。
- 若$$ \lim \frac{\beta(x)}{\alpha^k(x)}=l \neq 0 $$ 即 \(\beta(x) 与 \alpha^k(x)\) 为同阶无穷小，称 \(\beta(x) 是 \alpha(x)\) 的 k 阶无穷小。
- 特别是，若 $$ \lim_{x \to x_0} \beta(x)=0，又存在 \lim_{x \to x_0} \frac{\beta(x)}{(x-x_0)^k}$$ 即 \(\beta(x) 与 (x-x_0)^k\) 为同阶无穷小，称 $\beta(x) 是 x-x_0 $ 的 k 阶无穷小。
无穷小阶特性：
- 无穷小比较中的 $ \alpha, \beta$ 必须是在自变量相同变化趋势下的无穷小量；
- 无穷小的比较是定性的，即只有阶的高低之别，无数量上的关系；
- 不是任何无穷小量都可以比较其阶的高低。
4、重要的等价无穷小
在 x ——> 0时：
5、等价无穷小的重要性质
- $ \alpha(x) $ ~ $ \beta(x) \(，\) \beta(x) $ ~ $ \gamma(x) (x \to a) \implies \alpha(x) $ ~ $ \gamma(x)(x \to a) $.
- $ \alpha(x) $ ~ $ \beta(x) (x \to a) \iff \alpha(x)= \beta(x) + o(\beta(x))(x \to a)$.
- 求极限过程中，积、商可用等价无穷小因子替换；
有限个无穷小的和依然是无穷小；- 有界函数与无穷小的乘积为无穷小；
- 无穷个无穷小的和或积不一定为无穷小。
6、确定无穷小阶的方法
四、求极限的方法
1、利用极限的四则运算与幂指数运算法则求极限
（1）极限的四则运算法则
- 设 $$ \lim_{x \to a}f(x)=A, \lim_{x \to a}g(x)=B $$
则 $$ \lim_{x \to a}[f(x) \pm g(x)]=A \pm B, \lim_{x \to a}[f(x) \cdot g(x)]$$
- 各自极限存在才能运用极限四则运算；
- 函数的和、差、积、商的极限存在不能得出各自极限存在。
（2）有界函数与无穷小的乘积为无穷小
设 $$ \lim_{x \to a}f(x)=0$$，当 $ 0<|x-a|< \delta $ 时 g(x) 有界，则 $$ \lim_{x \to a}[f(x)g(x)]=0 $$
（3）无穷大与无穷大（非零有界函数）的积为无穷大
（4）有界函数与无穷大之和为无穷大
（5）有界函数的无穷大次幂和无穷大次幂的有界函数次幂(未定性)
（6）无穷小的有界函数次幂(未定性)
2、利用函数的连续性求极限
- 设 \(f(x)\) 在 \(x = a\) 连续，按定义则有 $$ \lim_{x \to a}f(x)=f(a). $$ 因此若不用定义可判断函数连续时，那么对连续函数求极限就是用
代入法求函数值。 - 一切初等函数在其定义域区间上连续，因此，若 \(f(x)\) 是初等函数，a 属于其定义域区间，则 $$ \lim_{x \to a}f(x)=f(a). $$
-
\[\text 设 \lim_{x \to a}g(x)=A， \]
- 若补充定义 \(g(a)=A\)，则 $g(x) 在 x=a $ 连续；
- 若又有 \(y=f(u) 在 u=A处连续\)，则由符合函数的连续性得到 $$ \lim_{x \to a}f(g(x))=f(\lim_{x \to a}g(x))=f(A). $$
3、利用变量替换法与两个重要极限求极限
通过变量替换，把求某个极限转化为求另一个极限。
-
\[设 \lim_{x \to + \infty}\varphi(x) = + \infty, \lim_{u \to + \infty}f(u)=A, 则 \]
-
\[设 \lim_{x \to x_0}\varphi(x)=u_0，f(u)在 u_0连续，则 \]
4、利用等价无穷小因子替换求极限
若 \(x \to a\) 时，无穷小 $\alpha(x) $ ~ \(\alpha^*(x)\)，$\beta(x) $ ~ \(\beta^*(x)\) 则
等式两边其中之一极限存在或为\(\infty\)，则另一也是且相等。
结论表明：在求极限过程中等价无穷小因子可以替换。
利用等价无穷小因子替换求极限注意事项：
- 只要求在求极限的乘除运算中使用等价无穷小因子替换，不要在求极限的加减运算中使用，在加减法中等价无穷小的替换是有条件的
- 要熟练运用3-4中重要等价无穷小。
5、利用洛必达法则求未定式的极限
求 \(\frac{0}{0}\) 或 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型未定式更常用的方法是洛必达法则
（1）定理
设
（2）使用条件
1）$x \to x_0 或 x \to \infty ，f(x)、g(x) $ 都趋于零或都趋于无穷大；
2）$$ f(x)、g(x) 在 x_0 的去心邻域可导，且 g'(x) \neq 0 ;$$
3）$$ \lim_{x \to x_0(x \to \infty)} \frac{f'(x)}{g'(x)} 存在或为无穷大。 $$
（3）应用法则注意事项
-
\[若 \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} 不存在也不为无穷大，不能说明 \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} 不存在。 \]
- 要验证应用法则的条件；
-
\[若 \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} 还是 \frac{0}{0}型或 \frac{\infty}{infty} \text型 \]
则可连续用洛必达法则，只要符合条件，可一直用到求出极限为止；
4. 其他类型的未定式 $( 0* \infty , \infty-\infty, 0^0, 1^{\infty}, \infty^0等) $ 先化成 $ \frac{0}{0} 或 \frac{\infty}{\infty}型 $，再用洛必达法则；
5. 使用洛必达法则也要用一些技巧，如结合应用变量替换、等价无穷小因子替换、极限的四则运算法则、有确定非零极限的因子应先求出等。
6、分别求左右极限求得函数极限
求分段函数在连接点处的极限，或函数表达式中含有左、右极限不相等的项（如 $x \to 0 时，e^{\frac{1}{x}}，arctan \frac{1}{x} 时 $），要分别求左、右极限求得函数极限。
7、利用函数极限求数列极限
即若 \(y_n\) 可看成某函数在一串点 \(x_n\) 上的函数值：$$ y_n=f(x_n)，而 x_n \to + \infty，又知 \lim_{x \to + \infty}f(x)=A ，则 \lim_{n \to + \infty}y_n=A.$$
注意1：$$ 若 \lim_{x \to + \infty}f(x)=A，y_n=f(n)，则 \lim_{n \to + \infty}y_n=A. $$
注意2：求数列极限转化为求函数极限的主要目的是为了用洛必达法则。
8、夹逼法求极限
用夹逼定理求极限，就是要将数列 \(\{x_n\}\) 放大与缩小成：\(z_n \leq x_n \leq y_n.\)
（1）简单放大缩小手段
常见手段如下：
- n 个数之和不超过最大数乘 n，不小于最小数乘 n；
- 分子与分母同为正数，把分母放大则分数值缩小；
- 若干正数的乘积中，把小于1的因子略去则乘积放大，把大于1的因子略去则乘积缩小等。
（2）利用极限不等式性质进行放大或缩小
例题：$$ 求数列极限： \lim_{n \to +\infty} \frac{3^n}{n!}; $$
解：由于
（3）对积分的极限可利用积分的性质进行放大或缩小
例题：设$ f(x) $ 在 [0,1] 上连续，求 $$ \lim_{n \to +\infty} \int_0^1 {x^n}f(x)dx $$
解：因为
且连续函数$ |f(x)| 在 [0,1] $ 存在最大值记为 M，于是
9、递归数列极限的求法
数列 \(\{ a_n\}\) 如果满足递归方程 \(a_{n+1}=f(a_n)(n=1,2,3,...)，f\) 是已知的一元连续函数，则称 \(\{ a_n\}\) 为递归数列。
由递归方程可知，由 \(a_1\) 可求出 \(a_2\) ，由 \(a_2\) 可求 \(a_3\) ，以此类推可求出任意项 \(a_n\) ，因此求递归数列极限的方法很重要：
- 方法一：先验证递归数列 \(a_n\) 收敛（常用单调有界数列必收敛定理），然后设 $$ \lim_{n \to + \infty}x_n=A ，$$
再对递归方程 \(a_{n+1}=f(a_n) 取极限得 A=f(A)\) ，最后解出 A 即可。 - 方法二：先设 $$ \lim_{n \to + \infty}x_n=A ，$$ 对递归方程取极限后解得A，再用某种方法证明 $$ \lim_{n \to +\infty}x_n=A $$。
10、利用定积分求某些 n 项和式的极限
11、利用泰勒公式求未定式的极限
12、利用导数定义求极限
五、函数的连续性及其判断
1、连续性概念
定义：
- 若 $$ \lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0) $$，称 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 连续。
- 若 $$ \lim_{x \to x_0+}f(x)=f(x_0)( \lim_{x \to x_0-}f(x)=f(x_0) ) $$，称 \(f(x)\) 在 $ x=x_0$ 连续。
- 若 \(f(x)\) 在 （a,b）内任一点均连续，称 \(f(x)\) 在 （a,b）连续。
- 若 \(f(x)\) 在 （a,b）连续，在 \(x=a\) 右连续，在 \(x=b\) 左连续，称 \(f(x) 在 [a,b] 上连续\) 。
定理（单双侧连续性的关系）：$f(x) 在 x_0 连续 \iff f(x) 在 x_0 $ 既左连续又右连续。
2、间断点的定义与分类
设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的空心邻域或单侧空心邻域有定义，\(x=x_0\) 不是 \(f(x)\) 的连续点，则称 \(x_0\) 是 \(f(x)\) 的间断点。
设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的空心邻域有定义，间断点 \(x_0\) 的类型。
第一类间断点$ \stackrel{\triangle}{=} f(x_0+0) 与 f(x_0-0) $ 均存在。（左、右极限均存在）- 可去间断点：$ f(x_0+0) = f(x_0-0) \neq f(x_0) 或 f(x_0) $ 无定义。（左极限等于右极限）
- 跳跃间断点：$ f(x_0+0) \neq f(x_0-0) $ 。(左极限不等于右极限)
第二类间断点$ \stackrel{\triangle}{=} f(x_0+0) 与 f(x_0-0) $ 中至少有一个不存在。- 无穷间断点：$ f(x_0+0) 与 f(x_0-0) $ 中至少有一个为 \(\infty\) 。
3、判断函数的连续性和间断点的类型
（1）判断函数连续性的方法
1）若是初等函数，则在它的定义域区间上处处连续；
2）用连续性运算法则；
3）分别判断左右连续性或按定义来判断。
（2）定理（连续性运算法则）
1）连续性的四则运算法则：设 \(f(x)，g(x) 在 x_0 连续，则f(x) \pm g(x)，f(x)*g(x)，f(x)/g(x)(g(x_0) \neq 0) 在 x_0 也连续。\)
2）复合函数的连续性：设 $ u=\varphi(x) 在 x=x_0 连续，y=f(u) 在 u=u_0(u_0= \varphi(x_0)) 连续，则 f(\varphi(x)) 在 x=x_0 连续。 $
3）反函数的连续性：设 $ y=f(x) 在区间 I_x 上单调且连续，则反函数 x=\varphi(y) 也在对应的区间 I_y= {y|y=f(x),x \in I_x } 上连续且有相同的单调性。 $
4、连续函数的性质
（1）连续函数的局部性质
设 \(f(x) 在 x=x_0 连续，f(x_0) > 0，则 \exists \delta >0，当 |x-x_0|< \delta 时，f(x)>0。\)
（2）连续函数介值定理（中间值定理）
设 $f(x) 在 [a,b] 上连续，f(x) \neq f(b)，则对 f(a) 与 f(b) 之间的任何数 \eta，必 \exists c(a<c<b)，使得 f(c)=\eta。 $
连续函数零点存在性定理（推论）：设 $ f(x)在 [a,b] 上连续，又 f(a) 与 f(b) 异号，则 \exists c \in (a,b)，使得 f(c)=0(c 称为 f(x)的零点)。 $
（3）有界闭区间上连续函数的有界性
设 $ f(x) 在 [a,b] 上连续，则 f(x) 在 [a,b] 上有界，即存在常数 M>0，使得 |f(x)| \leq M (x \in [a,b]) $
即 f(x)在 [a,b] 连续则它在 [a,b] 必有界。
（4）有界闭区间上连续函数存在最大、最小值
设 $ f(x) 在 [a,b] 上连续，则在 [a,b] 上必存在x_1，x_2，$ 使得
即 $ f(x) 在 [a,b]上连续，则 f(x) 在 [a,b] 上有最大值、最小值。 $
5、方程式根的存在性与根的估计
连续函数介值定理的推论————连续函数零点存在性定理，
连续函数零点存在性定理（推论）：设 $ f(x)在 [a,b] 上连续，又 f(a) 与 f(b) 异号，则 \exists c \in (a,b)，使得 f(c)=0(c 称为 f(x)的零点)。 $
可用于证明方程 \(f(x)=0\) 存在根，并给出根的大小估计。
（1）例题
例：证明 $ cosx - \frac{1}{x} = 0 $ 有无穷多个正根，并指明这一事实的几何意义。
解：令 $ f(x)=cosx- \frac{1}{x}, a_n=2n\pi, b_n=(2n+1)\pi, 则 $
由 $ f(a_n)= 1 - \frac{1}{2n\pi} > 0，\quad f(b_n)=-1- \frac{1}{(2n+1)\pi} < 0 \implies $
几何意义：令 $ f(x)=cosx- \frac{1}{x} , f(x)=0 有无穷多个正根的几何意义是曲线 y=f(x) 与正 x 轴有无穷多个交点。 $
