简单易懂带你了解二叉树

前言

上一篇博客为大家介绍了数组与链表这两种数据结构,虽然它们在某些方面有着自己的一些优点,但是也存在着一些自身的缺陷,本篇博客为将为大家介绍一下数据结构---二叉树,它在保留数组和链表的优点的同时也改善了它们的缺点(当然它也有着自己的缺点,同时它的实现也比较复杂).

1. 数组和链表的特点

数组的优点:

• 简单易用.
• 无序数组的插入速度很快,效率为O(1)
• 有序数组的查找速度较快(较无序数组),效率为O(logN)

数组的缺点:

• 数组的查找、删除很慢
• 数组一旦确定长度,无法改变

链表的优点:

• 可以无限扩容(只要内存够大)
• 在链表头的新增、删除很快,效率为O(1)

链表的缺点:

• 查找很慢
• 在非链表头的位置新增、删除很慢,效率为O(N)

2.树和二叉树

树是一种数据结构,因为它数据的保存形式很像一个树,所以得名为树(树状图).

而二叉树是一种特殊的树,它的每个节点最多含有两个子树,现实世界中的二叉树:

图1

但是实际中的二叉树却是倒挂的,如图:

图2

二叉树的名词解释:

• 根：树顶端的节点称为根。一棵树只有一个根，如果要把一个节点和边的集合称为树，那么从根到其他任何一个节点都必须有且只有一条路径。A是根节点。
• 父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；B是D的父节点。
• 子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；D是B的子节点。
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；比如上图的D和E就互称为兄弟节点。
• 叶节点：没有子节点的节点称为叶节点，也叫叶子节点，比如上图的E、H、L、J、G都是叶子节点。
• 子树：每个节点都可以作为子树的根，它和它所有的子节点、子节点的子节点等都包含在子树中。
• 节点的层次：从根开始定义，根为第一层，根的子节点为第二层，以此类推。
• 深度：对于任意节点n,n的深度为从根到n的唯一路径长，根的深度为0；
• 高度：对于任意节点n,n的高度为从n到一片树叶的最长路径长，所有树叶的高度为0；

深度与高度的区别在于： 深度为根到节点的距离，而高度是节点到叶的距离(记住根深叶高)。

3.二叉搜索树以及它是通过什么方式改善的数组、链表的问题

二叉搜索树是一种特殊的二叉树,除了它的子节点不能超过两个以外,它还拥有如下特点:

• 一个节点的左子节点的关键字的值永远小于该节点的值
• 一个节点的右子节点的关键字的值永远大于等于该节点的值

图3 - 二叉搜索树关键字的排序方式

从图3还可以看出,二叉搜索树的最小值就是它的最左节点的关键字的值,而最大值则是它的最右节点的值.

二叉搜索树的查找、新增、删除的效率为O(logN)(这是理想状态下,如果树是不平衡的效率会降到O(N),后面会介绍).

二叉搜索树之所以效率高就在于:

1. 它的数据是按照上述的有序的方式排列的.
2. 进行新增、查找、删除的时候使用了二分查找法.

4. 二叉树的实现

二叉树中数据是保存在一个个的节点中的,下面是保存数据的节点类:

/**
 * @author liuboren
 * @Title: 节点类
 * @Description:
 * @date 2019/11/28 9:33
 */
public class Node {
    // 用来进行排序的关键字数组
    int sortData ;

    // 其他类型的数据
    int other;

    // 该节点的左子节点
    Node leftNode;

    // 该节点的右子节点
    Node rightNode;

    public static void main(String[] args) {
        Node node = new Node();
        System.out.println("node.leftNode = " + node.leftNode);
        System.out.println(node.leftNode);
    }



}

在二叉搜索树这个类中新增、修改、删除数据:

public class Tree {

    // 根节点
    Node root;

    public Tree(Node root) {
        this.root = root;
    }

// 新增、查找、删除 暂时省略,下面会一一介绍
}

4.1 新增数据

在二叉树中插入数据的流程如下:

图4

图5

Java代码:

 /*新增数据*/
    public void insertData(Node node) {
        int currentSortData = root.sortData;
        Node currentNode = root;
        Node currentLeftNode = root.leftNode;
        Node currentRightNode = root.rightNode;
        int insertSortData = node.sortData;
        while (true) {
            if (insertSortData < currentSortData) {
                if (currentLeftNode == null) {
                    currentNode.leftNode = node;
                    break;
                } else {
                    currentNode = currentNode.leftNode;
                    currentLeftNode = currentNode.leftNode;
                    currentRightNode = currentNode.rightNode;
                    currentSortData = currentNode.sortData;
                }
            } else {
                if (currentRightNode == null) {
                    currentNode.rightNode = node;
                    break;
                } else {
                    currentNode = currentNode.rightNode;
                    currentSortData = currentNode.sortData;
                    currentLeftNode = currentNode.leftNode;
                    currentRightNode = currentNode.rightNode;
                }
            }

        }
        System.out.println("root = " + root);
    }

4.3 查找方法

流程与插入方法类似.

Java代码:

public void query(int sortData) {
    Node currentNode = root;
    while (true) {
        if (sortData != currentNode.sortData) {
            if (sortData < currentNode.sortData) {
                if (currentNode.leftNode != null) {
                    currentNode = currentNode.leftNode;
                } else {
                    System.out.println("对不起没有查询到数据");
                }
            } else {
                if (currentNode.rightNode != null) {
                    currentNode = currentNode.rightNode;
                } else {
                    System.out.println("对不起没有查询到数据");
                }
            }
        } else {
            System.out.println("二叉树中有该数据");
        }
    }
}

4.3 删除方法

删除节点要分三种情况.

• 删除节点无子节点的情况
• 删除节点有一个子节点的情况
• 删除节点有两个子节点的情况

删除节点无子节点的情况是最简单的,直接将该节点置为null就可以了:

图6

删除节点有一个子节点的情况:

图7

删除后:

图8

最复杂的删除节点有两个子节点的情况,删除流程如下:

图9

删除后:

图10

为什么要以这种方式删除节点呢? 再次回顾一下二叉搜索树的特点:

• 一个节点的左子节点的关键字的值永远小于该节点的值
• 一个节点的右子节点的关键字的值永远大于等于该节点的值

之所以要找删除节点的右子节点的最后一个左节点,是因为这个值是删除节点的子节点中最小的值,为了满足上面的这两个特点,所以删除要以这种算法去实现.

Java代码:

 public boolean delete(int deleteData) {
        Node curr = root;
        Node parent = root;
        boolean isLeft = true;
        while (deleteData != curr.sortData) {
            if (deleteData <= curr.sortData) {
                isLeft = true;
                if (curr.leftNode != null) {
                    parent = curr;
                    curr = curr.leftNode;
                }
            } else {
                isLeft = false;
                if (curr.rightNode != null) {
                    parent = curr;
                    curr = curr.rightNode;
                }
            }
            if (curr == null) {
                return false;
            }
        }
        // 删除节点没有子节点的情况
        if (curr.leftNode == null && curr.rightNode == null) {
            if (curr == root) {
                root = null;
            } else if (isLeft) {
                parent.leftNode = null;
            } else {
                parent.rightNode = null;
            }
            //删除节点只有左节点
        } else if (curr.rightNode == null) {
            if (curr == root) {
                root = root.leftNode;
            } else if (isLeft) {
                parent.leftNode = curr.leftNode;
            } else {
                parent.rightNode = curr.leftNode;
            }
            //如果被删除节点只有右节点
        } else if (curr.leftNode == null) {
            if (curr == root) {
                root = root.rightNode;
            } else if (isLeft) {
                parent.leftNode = curr.rightNode;
            } else {
                parent.rightNode = curr.rightNode;
            }
        } else {
            Node successor = getSuccessor(curr);
            if (curr == root) {
                root = successor;
            } else if (curr == parent.leftNode) {
                parent.leftNode = successor;
            } else {
                parent.rightNode = successor;
            }
            successor.leftNode = curr.leftNode;
        }
        return true;

    }

    public Node getSuccessor(Node delNode) {
        Node curr = delNode.rightNode;
        Node successor = curr;
        Node sucParent = null;
        while (curr != null) {
            sucParent = successor;
            successor = curr;
            curr = curr.leftNode;
        }
        if (successor != delNode.rightNode) {
            sucParent.leftNode = successor.rightNode;
            successor.rightNode = delNode.rightNode;
        }
        return successor;
    }

5. 遍历

遍历二叉树中的数据,有三种遍历方式:

• 前序
• 中序(最常用)
• 后续

前序、中序和后序三种遍历方式的步骤是相同的,只是顺序不同.

前序遍历顺序:

• 先输出当前节点
• 再遍历左子节点
• 再遍历右子节点

中序遍历顺序:

• 先遍历左子节点
• 再输出当前节点
• 再遍历右子节点

后序遍历顺序:

• 先遍历左子节点
• 再遍历又子节点
• 再输出当前节点

什么当前节点?什么左右子节点?太抽象!!!!没关系继续看图.

前序遍历输出顺序图:

图11

中序遍历输出顺序图:

图12

后序遍历输出顺序图:

图13

可以看出所谓的前中后序是输出当前节点的顺序,前序是在第一个输出当前节点,中序是第二个输出当前节点,后序是第三个当前节点.

又因为中序遍历是按照关键值由小到大的顺序输出的,所以中序遍历最为常用.

前、后序遍历在解析或分析二叉树(不是二叉搜索树)的算术表达式的时候比较有用,用的不太多,看下图:

6. 二叉树的效率

我们用二叉树与数组和链表进行对比,在有100w个数据项的无序数组或链表中,查找数据项平均会比较50w次,但在有100w个节点的树中,只需要20(或更少)次的比较.

有序数组可以很快的找到数据项,但插入数据项平均需要移动50w个数据项,在100w个节点的树中插入数据项需要比较20或更少次的比较,再加上很短的时间来连接数据项.

同样,从有100w个数据项的数组中删除一个数据项需要平均移动50w个数据项,而在100w个节点的树中删除节点只需要20次或更少的比较来找到它,再加上(可能的话)一点比较的时间来找到它的后继,一点时间来断开这个节点的链接,以及连接它的后继.

结论: 树对所有常用的数据存储操作都有很高的效率

遍历不如其他操作快. 但是,遍历在大型数据库中不是常用的操作.它更长用于程序中的辅助方法来解析算术或其他的表达式,而且表达式一般都不会很长.

如果二叉树是平衡的,它的效率为: O(logN),如果二叉树是不平衡的(最极端的情况,存入树中的数据是升序或降序排列的,那么二叉树就是链表),效率为: O(N)

所以二叉搜索树在保存随机数值的时候,效率才是最高的

7. 二叉树的缺点

如果二叉树是极端不平衡的(此时的二叉树就是一个链表),它的效率为O(N),即使数值是随机的,如果数据的量够大,也有可能有一部分的数值是有序的(就像你抛硬币的时间足够长,会有一段时间出现一直抛正面或反面),造成二叉树会变成是局部不平衡的,这样它的效率会介于O(logN)到O(N).

如何使二叉树的效率始终保持在O(logN)呢? 下篇博客为您介绍红黑树.