欧几里得（Euclid）与拓展的欧几里得算法
欧几里得（Euclid）与拓展的欧几里得算法
博客转到http://xinyu-yang.github.io
欧几里得算法
原理
欧几里得算法是一种快速计算最大公约数的算法，对于任意的两个数\((a,b)\)，其最大公约数表示为\(gcd(a,b)\)，根据欧几里得算法，\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)。证明如下：
如果\(b>a\)，显然成立；因此只需考虑\(b<a\)的情况。根据初等数学知识，可知\(a,b\)的关系可表示为\(a=qb+r\)，其中\(q\)为商，\(r\)为余数。
对于\((a,b)\)的最大公约数\(g1=gcd(a,b)\)，当然\(g1|a,g1|b\)（\(g1|a\)表示g1整除a），所以易知对于\(r=a-qb\)，同样满足\(g1|r\)；
又因为\(a\%b=r\)，所以对于\(a,b\)的最大公约数g1，同样满足\(g1|a\%b,g1|b\)，即\((b,a\%b)\)的最大公约数至少为\(g1\)，即\(gcd(b,a\%b)>g1=gcd(a,b)\)。
反过来，对于\((b,a\%b)\)的最大公约数\(g2=gcd(b,a\%b)\)，同样满足\(g2|a, g2|b\)，即\(gcd(a,b)>g2=gcd(b,a\%b)\)。
因此\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)证明成立。下面对该算法进行实现。
实现
#include <iostream>
using namespace std;
int euclid(int a, int b)
{
if (b!=0)
{
return euclid(b, a%b);
}
else
{
return a;
}
}
int main()
{
int a(0),b(0);
cin >> a >> b;
cout << euclid(a,b);
return 0;
}
拓展的欧几里得算法
原理
拓展的欧几里得算法在密码学中有着重要的应用，现给出定理：
对正整数a，b；总是存在一组整数X,Y，使得\(Xa+Yb=gcd(a,b)\)成立，且\(gcd(a,b)\)为满足这种条件的最小整数。
这里不对该定理进行证明，欧几里得算法给出了在已知a，b的情况下求\(gcd(a,b)\)的方法，但是如果想要求得X，Y的值，就要求助于拓展的欧几里得算法。怎么才能从欧几里得算法的计算过程当中得到我们想要求解的值呢？我们再次详细回顾欧几里得算法的求解过程。
对于已知整数\(a,b\)，我们的算法求解过程如下：
| \(a\) | \(b\) | 余数\(r\) | 商\(q\) |
|---|---|---|---|
| a | b | \(r1=a\%b\) | \(q1=a/b\) |
| b | r1 | \(r2=b\%r1\) | \(q2=b/r1\) |
| r1 | r2 | \(r3=r1\%r2\) | \(q3=r1/r2\) |
| ... | ... | ... | ... |
| \(r_{n-1}\) | \(r_n\) | \(r_{n+1}=r_{n-1}\%r_n\) | \(q_{n+1}=r_{n-1}/r_n\) |
| 逐步计算，直到某一步出现\(r_{n-1}\%r_{n}=0\)的情况，这时候就找到了最大公约数，最大公约数即为\(r_n\)，以上就是欧几里得算法的全过程。通过这个过程当中多产生的一些中间结果我们能不能求得\(X,Y\)的值呢？下面进行两种求解方法的推导。 |
递归求解
根据上面的表格我知道，\(Xa+Yb=gcd(a,b)\)，并且对于中间所求解的每一步我们所得到的\(r_i\)都满足\(X_i\cdot r_i+Y_i\cdot r_{i+1}=gcd(a,b)\)，因为很明显每一对\(r_i,r_{i+1}\)都满足最大公约数为\(gcd(a,b)\)，这也是欧几里得算法的原理。
我们试着寻找\((X_i,Y_i),(X_{i+1},Y_{i+1})\)之间的递推关系，由以上阐述可知:
为了将上式转换成\(r_i\)的方程组，我们使用\(r_{i+1},r_{i+2}来表示r_i\)，通过以上可知\(r_i=r_i/r_{i+1}\cdot r_{i+1}+r_{i+2}\)，将该式带入上式（1），并将两式合并可得：
进一步化简可得：
根据系数相等的原则可得：
以上就得到了\((X_i,Y_i),(X_{i+1},Y_{i+1})\)之间的递推关系，那么我们接下来的工作就是找到一对可以求出其值的\((X_i,Y_i)\)，通过以上可知当出现某一次计算使得\(r_{i}\%r_{i+1}=0\)时，我们可知对于\(X_i\cdot r_i+Y_i\cdot r_{i+1}=gcd(a,b)\)，满足\(gcd(a,b)=r_{i+1}\)，那么很显然\(X_i=0,Y_i=1\)。于是我们就得到了一对\((X_i,Y_i)\)的值，我们已经知道了最后一对\(r_{i},r_{i+1}\)所对应的\((X_i,Y_i)\)才能够推知前面的值，所以我们的推导时从后往前推的，因此我们将上面的递推关系稍微变换一下形式：
此时我们就得到了推导关系和初值，通过计算我们就可以求得满足\(Xa+Yb=gcd(a,b)\)的\(X,Y\)值。下面通过代码对其进行实现：
#include <iostream>
using namespace std;
void extEuc(int a, int b, int&x, int&y)
{
int rx,ry;
int r(0);
if (a%b==0)
{
x=0;y=1;
return;
}
else
{
r = a%b;
extEuc(b, r, rx, ry);
x = ry;
y = rx - ry*a/b;
return;
}
}
int main()
{
int a,b;
int x,y;
cin >> a >> b;
extEuc(a, b, x, y);
cout << x <<' '<< y << endl;
return 0;
}
输入42 2017可求得输出为-48，1。
迭代求解
较多的递归调用可能会影响计算速度，所以我们接下来推一下迭代的计算方式，已知上面表格中所列欧几里得算法的计算步骤。已知\(gcd(a,b)\)是满足该集合的最小值\(\lbrace Xa+Yb | X,Y\in Z \rbrace\)，已知对于每一步所产生的余数均能被\(gcd(a,b)\)整除，现在考虑每一步迭代所产生的余数满足的等式：
且已知\(r_i, r_{i+1}\)满足\(r_{i-1}=r_{i-1}/r_i\cdot r_i+r_{i+1}\)，将上面两式代入到该式，可得：
值得注意的是此处的\(X_i,Y_i\)与递归方法中的值含义不同。根据上式可推知以下递推关系：
已知中间的递推关系，关键是考虑如何判断循环的起始值和结束条件，对于\(a,b\)也可看做是余数\(r_i\)，那么对于\(a,b\)来说，其满足的值为：
所以就得到了两对\((X,Y)\)的值，分别为\((1,0),(0,1)\)，并且已知\(r_i\)之间的递推关系为\(r_{i+1}=r_{i-1}\%r_i\)。我们也知道循环结束的条件为\(r_i=gcd(a,b)\)，其最后的形式为\(Xa+Yb=gcd(a,b)\)，其直接判断方式为\(r_{i-1}\%r_i=0\)，然后我们就得到了最终的\(X,Y\)值，根据以上递推形式，我们有以下实现：
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int a,b;
int x1(1),y1(0),x2(0),y2(1);
int temp;
cin >> a >> b;
while (a%b!=0)
{
temp = x2;
x2 = x1 - a/b*x2;
x1 = temp;
temp = y2;
y2 = y1 - a/b*y2;
y1 = temp;
temp = a%b;
a = b;
b = temp;
}
cout << x2 <<' '<<y2<<endl;
return 0;
}
输入42 2017可求得输出为-48，1。
这里有一个用尽可能多的程序语言实现求逆元的网站，大家也可以参考这里的不同实现。
查看更多内容：麋鹿博客
参考文献
[1] Katz J，Lindel Y．Introduction to Modern Cryptography—Principle and Protocol现代密码学——原理与协议【M】任伟．北京：国防工业出版社．2010：10-15．
