曲线拟合——（1）高斯曲线

作者：桂

时间：2017-03-13  21:23:57

链接：http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6545162.html

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前言

 本文主要是上一篇文章的补充，主要针对常用正态分布曲线拟合，文中内容多有借鉴他人，最后一并给出链接。

 

一、理论分析

对于正态分布：

$f(x) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}{e^{ - \frac{{{{(x - \mu )}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}$

假设数据点{$x_i$,$y_i$}（$i = 1,2,3,...N$）符合正态分布曲线，对其进行拟合（曲线拟合不同于分布拟合，需要乘以幅度$A$）,给出准则函数：

对准则函数$J_0$求解即可实现参数估计。

由于求导比较复杂（可以借助Mathmatica/Maple），因此这里换一个思路：如果$e^x$—>$y$，则$x$—>$lny$，重新定义准则函数：

此时，变成了{$x_i$,$ln(y_i)$}的一元二次最小二乘拟合问题（此步简便，直接借助MATLAB的polyfit，不再细说）。假设拟合结果为：

对应参数估计：

二、代码实现

　　A-编程

根据上文理论分析，直接给出代码：

clc;clear all;close all;
%generate the orignal data
mu = 0;
sig2 = 2;
A = 4;
x=-10:.1:10;
y=A/sqrt(2*pi*sig2)*exp(-(x-mu).^2/sig2/2)+.05*randn(1,length(x));
subplot 211
scatter(x,y,'k');grid on;

%%curve fitting
%1-Gauss distribution
p = polyfit(x,log(y),2);
sig2_est = -1/2/p(1);
mu_est = sig2*p(2);
A_est = exp(mu^2/2/sig2+p(3))*sqrt(2*pi*sig2);

%plot
subplot 212
scatter(x,y,'k');hold on;
grid on;
plot(x,A/sqrt(2*pi*sig2)*exp(-(x-mu_est).^2/2/sig2),'r--','linewidth',2);

结果图：

　　B-自带函数

如果单从实现角度，可以直接调用：

clc;clear all;close all;
%generate the orignal data
mu = 0;
sig2 = 2;
A = 4;
x=-10:.1:10;
y=A/sqrt(2*pi*sig2)*exp(-(x-mu).^2/sig2/2)+0.05*randn(1,length(x));
subplot 211
scatter(x,y,'k');grid on;

%%curve fitting
%1-Gauss distribution
f = fittype('a*exp(-((x-b)/c)^2)');
[cfun,gof] = fit(x(:),y(:),f);
yo = cfun.a*exp(-((x-cfun.b)/cfun.c).^2);
%plot
subplot 212
scatter(x,y,'k');hold on;
grid on;
plot(x,yo,'r--','linewidth',2);

对应结果图：可见二者都可以实现拟合。

 

三、拟合优化

推导时，我们用了一个前提：如果$e^x$—>$y$，则$x$—>$lny$。对于接近于0处的噪声，$lny$显然会将噪声放大。现在增加噪声，观察编写的code与自带两种结果：

可以看到，对于$y_i$接近0处的噪声，$lny$会将噪声放大。拟合结果非常不理想，现在考虑对编程拟合方法进行优化：

既然在映射到$ln$函数时，$y_i$接近于0点处的噪声会放大，考虑只通过数值较大的点进行拟合，而直接舍去接近0的点。即：添加阈值Th，仅考虑部分样本点。

给出优化后的代码：

clc;clear all;close all;
%generate the orignal data
mu = 3;
sig2 = 2;
A = 40;
xold=-10:.1:10;
yold=A/sqrt(2*pi*sig2)*exp(-(xold-mu).^2/sig2/2)+0.5*randn(1,length(xold));
subplot 211
scatter(xold,yold,'k');grid on;
%%curve fitting
%select data
x = [];y = [];
Th = 0.3;%Threshold
for n = 1:length(xold)
    if yold(n)>max(yold)*Th;
        x = [x,xold(n)];
        y = [y,yold(n)];
    end
end

%1-Gauss distribution
p = polyfit(x,log(y),2);
sig2_est = -1/2/p(1);
mu_est = sig2*p(2);
A_est = exp(mu^2/2/sig2+p(3))*sqrt(2*pi*sig2);

%plot
subplot 212
scatter(xold,yold,'k');hold on;
grid on;
plot(xold,A/sqrt(2*pi*sig2)*exp(-(xold-mu_est).^2/2/sig2),'r--','linewidth',2);

优化结果：　

问题得到改善。

参考：

高斯拟合：http://www.cnblogs.com/linkr/p/3632032.html