★P1024 [NOIP 2001 提高组] 一元三次方程求解

题目描述

有形如：\(a x^3 + b x^2 + c x + d = 0\) 这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数（\(a,b,c,d\) 均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在 \(-100\) 至 \(100\) 之间），且根与根之差的绝对值 \(\ge 1\)。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后 \(2\) 位。

提示：记方程 \(f(x) = 0\)，若存在 \(2\) 个数 \(x_1\) 和 \(x_2\)，且 \(x_1 < x_2\)，\(f(x_1) \times f(x_2) < 0\)，则在 \((x_1, x_2)\) 之间一定有一个根。

输入格式

一行，\(4\) 个实数 \(a, b, c, d\)。

输出格式

一行，\(3\) 个实根，从小到大输出，并精确到小数点后 \(2\) 位。

输入输出样例 #1

输入 #1

1 -5 -4 20

输出 #1

-2.00 2.00 5.00

说明/提示

【题目来源】

NOIP 2001 提高组第一题

题解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

double a, b, c, d;
vector<double> roots;

double f(double x) {
    return a*x*x*x + b*x*x + c*x + d;
}

// 本题有一个测试点会重复计入根，当一个端点（例如 i 或 i+1）正好满足 f(x) ≈ 0 时，代码会先直接把这个端点加入根列表；随后在同一个区间，二分法又找到了一个近似相同的根，导致重复计入，这里添加判断防止重复，在每次加入新根前，可以判断当前新根与已存在根的距离是否足够大（如大于 1e-6），如果非常接近则跳过。
bool isNewRoot(double x) {
    for (double r : roots) {
        if (fabs(r - x) < 1e-6)
            return false;
    }
    return true;
}

void search() {
    for (double i = -100; i < 100; i++) {
        double left = i, right = i + 1;
        // 判断端点是否为根
        if (fabs(f(left)) < 1e-6 && isNewRoot(left)) {
            roots.push_back(left);
            if (roots.size() == 3) break;
            continue;  // 跳过本次区间的二分，防止重复计入
        }
        if (fabs(f(right)) < 1e-6 && isNewRoot(right)) {
            // 如果右端点是根，先尝试二分法，避免重复
            if (f(left)*f(right) < 0) {
                // 二分求根
                while (right - left > 1e-7) {
                    double mid = left + (right - left) / 2;
                    if (f(mid) * f(left) < 0)
                        right = mid;
                    else
                        left = mid;
                }
                double root = (left + right) / 2;
                if (isNewRoot(root)) {
                    roots.push_back(root);
                    if (roots.size() == 3) break;
                }
            } else {
                // 如果区间内没有符号变化，则直接添加右端点
                roots.push_back(right);
                if (roots.size() == 3) break;
                continue;
            }
        }
        // 对于一般情况，判断区间内是否有根
        if (f(left) * f(right) < 0) {
            while (right - left > 1e-7) {
                double mid = left + (right - left) / 2;
                if (f(mid) * f(left) < 0)
                    right = mid;
                else
                    left = mid;
            }
            double root = (left + right) / 2;
            if (isNewRoot(root)) {
                roots.push_back(root);
                if (roots.size() == 3) break;
            }
        }
    }
}

int main() {
    cin >> a >> b >> c >> d;
    search();
    sort(roots.begin(), roots.end());
    for (size_t i = 0; i < roots.size(); i++) {
        if (i > 0) cout << " ";
        printf("%.2lf", roots[i]);
    }
    cout << endl;
    return 0;
}