P1044 [NOIP 2003 普及组] 栈——卡特兰数

题目背景

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即 pop（从栈顶弹出一个元素）和 push（将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，\(1,2,\ldots ,n\)（图示为 1 到 3 的情况），栈 A 的深度大于 \(n\)。

现在可以进行两种操作，

1. 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的 push 操作）
2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的 pop 操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由 1 2 3 生成序列 2 3 1 的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的 \(n\)，计算并输出由操作数序列 \(1,2,\ldots,n\) 经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入格式

输入文件只含一个整数 \(n\)（\(1 \leq n \leq 18\)）。

输出格式

输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目。

输入输出样例 #1

输入 #1

3

输出 #1

5

说明/提示

【题目来源】

NOIP 2003 普及组第三题

题解

#include <iostream>
using namespace std;

const int MAXN = 20;
// 用于存储卡特兰数的数组
long long catalan[MAXN];

int main() {
    int n;
    // 读取输入的整数 n
    cin >> n;

    // 初始化 C_0 为 1
    catalan[0] = 1;

    // 递推计算卡特兰数
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 0; j < i; ++j) {
            // 根据递推公式 C_i = sum(C_j * C_{i - j - 1}) (0 <= j < i) 计算
            catalan[i] += catalan[j] * catalan[i - j - 1];
        }
    }

    // 输出第 n 个卡特兰数
    cout << catalan[n] << endl;

    return 0;
}