【bzoj3028】 食物 生成函数+隔板法

题目传送门：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3028

 

这题的推导很妙啊，裸的推母函数的题。

我们首先构造出每种食物的母函数：

汉堡：$1+x^2+x^4+……=\frac{1}{1-x^2}$

可乐：$1+x=\frac{1-x^2}{1-x}$

鸡腿：$1+x+x^2=\frac{1-x^3}{1-x}$

蜜桃：$x+x^3+x^5+......=\frac{x}{1-x^2}$

鸡块：$1+x^4+x^8+......=\frac{1}{1-x^4}$

包子：$1+x+x^2+x^3=\frac{1-x^4}{1-x}$

炒肉：$1+x=\frac{1-x^2}{1-x}$

面包：$1+x^3+x^6+......=\frac{1}{1-x^3}$

 

然后，我们将这八个母函数乘起来，得到$\frac{x}{(1-x)^4}$，所求答案为$\frac{x}{(1-x)^4}$的n次项系数。

考虑如何求这个东西，不难发现，$\frac{x}{(1-x)^4}=x \times (\frac{1}{1-x})^4$，然后又因为$\frac{1}{1-x}=\sum_{i=0}{\infty} x^i$，可以想象成有一个物品集合A，其中每种权值恰好有1个，那么$\frac{x}{(1-x)^4}$的n次项系数相当于从4个A集合中各取出1个，并且这4个物品的权值和为n的方案数，这个东西通过插板法简单推导下可以推出其答案为$\binom{n+2}{3}$。

由于n很大，读入的时候先取个模再求答案即可。

代码很短，推导稍长....

#include<bits/stdc++.h>
#define MOD 10007
#define INV6 1668
using namespace std;
char c[12345]={0};

int main(){
    scanf("%s",c);
    int len=strlen(c),n=0;
    for(int i=0;i<len;i++) n=(n*10+c[i]-'0')%MOD;
    printf("%d\n",n*(n+1)%MOD*(n+2)%MOD*INV6%MOD);
}