【xsy2332】Randomized Binary Search Tree DP+FFT

题目大意：给你一个$[0,1]$之间等概率随机序列，你需要把这个序列插入到一棵$treap$中，问这棵$treap$的期望深度，请对于$[1,n]$中的每个深度分别输出它的概率（实数，保留五位小数）。

$treap$的优先级之也是在$[0,1]$中等概率随机出来的。

ps：这个$[0,1]$的随机非常$niubi$，任意一个$[0,1]$间的实数被选中的概率是$0$

 

这一题有一个很特殊的性质：两个序列都是等概率随机出来的。

在没有相同数的情况下，我们发现$treap$最终的形态跟数值插入的顺序是没有关系的。

假如我们将整个序列排序，我们会发现这些元素被$treap$分配的优先级，是一个（随机的）随机数序列。

$treap$的形状等价于优先级序列的笛卡尔树。

所以我们可以列出一个$dp$：设$f[i][j]$表示$j$个点构成的笛卡尔树深度不大于$i$的概率。

考虑到每个点的值都是随机的，则有:$f[i][j]=\frac{1}{j}\sum\limits_{k=1}^{j}f[i-1][k-1]\times f[i-1][j-k]$

直接转移的概率显然是$O(n^3)$的。

 

我们发现，概率会集中在笛卡尔树期望深度附近，所以实际上并不需要DP到$f[n][]$,我们大概率只需要dp到$f[50][]$即可满足精度要求（剩下的都是0）

然后，发现上面的式子是一个卷积，我们可以用$FFT$加速转移。

所以最终的复杂度就变成了$O(An\log\  n)$

#include<bits/stdc++.h>
#define M (1<<16)
#define PI acos(-1)
using namespace std;

struct cp{
    double r,i; cp(){i=r=0;}
    cp(double R,double I){r=R; i=I;}
    friend cp operator +(cp a,cp b){return cp(a.r+b.r,a.i+b.i);}
    friend cp operator -(cp a,cp b){return cp(a.r-b.r,a.i-b.i);}
    friend cp operator *(cp a,cp b){return cp(a.r*b.r-a.i*b.i,a.r*b.i+a.i*b.r);}
    friend cp operator /(cp a,double b){return cp(a.r/b,a.i/b);}
}a[M];

void change(cp a[],int n){
    for(int i=0,j=0;i<n-1;i++){
        if(i<j) swap(a[i],a[j]);
        int k=n>>1;
        while(j>=k) j-=k,k>>=1;
        j+=k;
    }
}
void FFT(cp a[],int n,int on){
    change(a,n);
    for(int h=2;h<=n;h<<=1){
        cp wn=cp(cos(2*PI/h),sin(2*PI*on/h));
        for(int j=0;j<n;j+=h){
            cp w=cp(1,0);
            for(int k=j;k<j+(h>>1);k++){
                cp u=a[k],t=a[k+(h>>1)]*w;
                a[k]=u+t; a[k+(h>>1)]=u-t;
                w=w*wn;
            }
        }
    }
    if(on==-1)
        for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]/n;
}

int main(){
    int n; scanf("%d",&n); double las=0;
    int len=1; for(;len<=n*2;len<<=1);
    a[0]=cp(1,0);
    for(int hh=1;hh<=min(n,50);hh++){
        //if(las<1e-5){printf("0\n"); continue;}
        FFT(a,len,1);
        for(int i=0;i<len;i++) a[i]=a[i]*a[i];
        FFT(a,len,-1);
        for(int i=n;i<len;i++) a[i]=cp(0,0);
        for(int i=n;i;i--) a[i]=a[i-1]/i; a[0]=cp(1,0);
        printf("%.10lf\n",a[n].r-las);
        las=a[n].r;
    }
    for(int i=min(n,50)+1;i<=n;i++) printf("%.10lf\n",0);
}