24高考数学19题

题目描述:

题解 :

(1)

枚举可知，答案为 $ (1,2) , (5,6) , (1,6) $

(2)

归纳法

设原数列公差为 \(d>0\)

\(m=3\) 时,原数列可分为 \(3\) 组，分别为 :

\(\{ a_1,a_4,a_7,a_{10} \} , \{ a_3,a_6,a_9,a_{12} \} , \{ a_5,a_8,a_{11},a_{14} \}\)

公差均为\(3d\)

\(\therefore\)数列\(\{ a_{14} \}\)为\((2,13)\)可分数列

假设数列\(\{ a_{4m+2} \}\)为\((i,j)\)可分数列在\(m=k\)时成立

\(m=k+1\)时，由归纳假设，前\(4k+2-2\)项可以分为\(k\)个等差数列，显然，剩下的\(4\)项恰好也可以构成等差数列，即\(\{ a_{4k+3},a_{4k+4},a_{4k+5},a_{4k+6} \}\)，公差为\(d\)。

\(\therefore\)数列\(\{ a_{4(k+1)+2} \}\)为\((i,j)\)可分数列.

归纳得:

\(m \geqslant 3\)时，数列\(\{ a_{4m+2} \}\)为\((2,13)\)可分数列.

(3)

构造法

由定义可知:

$\displaystyle P_m = \frac{符合条件的(i,j)个数}{C^2_{4m+2}} =\frac{n}{8m^2+6m+1} > \frac18 $

$ \therefore 8n > 8m^2+6m+1 $

由第二问易知：

若 \((i,j) , 1 \le i < j \le 4m+2\) 满足条件

则 $ (i+4p,j+4q) , 1 \le i+4p < j+4q \le 4m+2 , p,q \in Z$ 满足条件

显然 \((1,2)\) 满足条件

则形如 \((4p+1,4q+2)\) 的均满足条件,共 \(C^2_{m+2}\) 个

又 \(m \ge 2\) 时 \((2,9)\)满足条件,而(2,5)不满足条件可知(\(m=2\)时分为\(\{ a_1,a_3,a_5,a_7 \} , \{ a_4,a_6,a_8,a_{10} \}\)):

形如\((4p+2,4q+1), p+1<q\)时满足条件,共\(C^2_m\)个

\(\displaystyle \therefore 8n \ge 8(C^2_{m+2}+C^2_m) = 8 \frac{(m+2)(m+1)+m(m-1)}{2} = 8(m^2+m+1) > 8m^2+6m+1\)

即$ P_m>\frac18 $