数学杂题

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(图论?)

题目描述

三角形 \(ABC\) 内共有 \(n\) 个点，加上 \(A,B,C\) 共 \(n+3\) 点间任三点不共线，以这三个点为顶点用任意方式将三角形剖分成 \(2n+1\) 个不重叠小三角形，将这些点染成 \(1,2,3\) 三种颜色之一，其中 \(A,B,C\) 分别染为 \(1,2,3\) 色。试证：三个顶点均异色的三角形个数为奇数。

证明

引证\(I\):
如上三角形能剖分成 \(2n+1\) 个不重叠三角形。
构造归纳即可：
显然 \(n=0\) 时命题成立。
假设 \(n=k\) 时命题成立。
由题意：第 \(k+1\) 个点 \(O\) 与任意三角形的边均不重合，即 \(O\) 在某一三角形内，不妨设其为 \(RST\)。

(当然\(RST\)也可能是\(ABC\))
只需连接 \(OR,OS,OT\) 即可构造出三个小三角形。
则三角形个数 \(s=2k+1+3-1=2(k+1)+1=2n+1\) 。
归纳得：引证所求对所有 \(n\) 都成立。
引证证毕。

求证命题的证明思路同上。
\(n=0\) 时，有且只有一个所求三角形：\(\triangle ABC\) 。
先假设 \(n=k\) 时，命题成立。
同引证\(I\):
点 \(O\) 位于 \(\triangle RST\) 中。
\(\triangle RST\) 有三种染色情形：

(1)123型

不妨假设点 \(R,S,T\) ，分别染上 \(1,2,3\) 色。
点 \(O\) 的三种可能均等价。不妨设为 \(1\) 色。
则所求三角形数量不变：
少了 \(\triangle RST\) ，多了 \(\triangle OST\) 。

(2)112型

不妨假设点 \(R,S,T\) ，分别染上 \(1,1,2\) 色。

若点 \(O\) 染为 \(1,2\) 色，
则所求三角形数量未变。

若点 \(O\) 染为 \(3\) 色，
则所求三角形多了 \(\triangle RTO,\triangle STO\) 两个，
奇偶性仍未变。

(3)111型

无论 \(RST,O\) 染成什么颜色，
所求三角形数量不变。

综(1)(2)(3)可得\(n=k+1\)时也成立。

归纳可得证。