正如IOI noip 20 天

Day 6（2）

赛时：100+100+80+65=345。
赛后：100+100+80+65=345。

A：签到。

B：300iq contest 经典题（CFgym102268B Best Subsequence）。

一个做法是时间倒流，每次消去最大值对应位置，贪心消大的那一个。

另一个做法是二分，分成大/小，然后贪心。

C：正常题。

赛时做法是一个从前往后的贪心，由于合法括号序列前 \(2k-1\) 个位置要有 \(k\) 个左括号，所以枚举 \(k\) 就可以固定左端点在一个前缀内，贪心选右端点最小的。

为了字典序最小，再次从前往后贪心，可以发现若当前为右括号，剩余左括号一定都在这对右括号内部，选择右端点最大的左括号查看是否可以反悔即可，用线段树维护。

事实上做麻烦了，倒着做一遍一开始的贪心字典序就是最小了。。。

D：巨大麻烦讨论题，未补。

赛时做法直接数位 dp，观察各个限制的范围区间都可以缩小到常数级别。

复杂度应该是 \(O(T\log^2 V)\) 或 \(O(T\log^3V)\)。

Day 7（28）

赛时：100+100+40+100=340。
赛后：100+0+40+55=195。

A：签到。

B：转补图最大独立集，唯一难点为输出方案。

选择左部非匹配点，左部到右部走非匹配边，右部到左部走匹配边，输出左部访问过、右部没有访问过的点。

C：简单题，赛时不会真的蠢。

树上选点构造回路问题经典结论是 \(\sum_{(x,y)\in E}\min(sz_x,sz_y)\)，依此可以得到一个 \(O(nk)\) 的树形背包。

dp 值显然凸，用差分刻画这个树形背包的过程，合并子树无非闵可夫斯基和，直接启发式合并，增加根结点就是前 \(\lfloor\frac k2\rfloor\) 个位置加 \(2w\)，后 \(\lfloor\frac k2\rfloor\) 个数减 \(2w\)，容易使用懒标记+堆实现。

D：简单题。

将路径刻画成字符串，问题转化为不能出现一个串为子串的字符串计数。对 ban 掉的路径建出 ACAM，容易得到一个 \(O(n^2)\) 的 dp。

根据经典技巧，枚举 \(x\)，提取出结尾为 \(x\) 的结点在 fail 树上的虚树，虚树的转移可以通过一次 dfs 解决，其复杂度可以均摊到每条边，复杂度 \(O(n\log n)\)。（注意建出 ACAM 需要使用主席树）

Day 8（9）

赛时：100+100+100+40=340。
赛后：100+100+100+0=300。

A：签到。

B：签到，单调队列。

C：比较有意思的题。

首先考虑每个置换环，手玩发现可能的加边方式为：倍数之间连边，以及偶数内部连边，但 \(>2\) 的偶数内部连会让边数无法达到要求。

再次手玩可以发现存在一种定根方式使得每个点的父亲都是自己的因数。

若存在 \(1\)，可以发现 \(1\) 之间会连成无根树；若不存在 \(1\)，可以发现会选择一个 \(2\) 内部连，其余任意。

我们只需考虑每个点选父亲的过程，其如下述：

从小到大枚举环长，每个环长内部连成若干有根树，每棵有根树选择一个因子作为其父亲，列出 EGF：

\[[\frac{x^n}{n!}]\exp(\sum_{i}\frac{V_0^{i-1}V_1i^{i-1}x^i}{i!})=V_0^n[\frac{x^n}{n!}]\exp(\frac{V_1}{V_0}\sum_{i}\frac{i^{i-1}x^i}{i!}) \]

经典的处理方法为将其视作 \(e^{Vx}\) 与有根树的 EGF \(T(x)\) 的复合，然后施用扩展拉格朗日反演。

\[[x^n]H(G(x))=\frac1n[x^{n-1}]H'(x)(\frac x{F(x)})^n\\=\frac{1}{n}[x^{n-1}](Ve^{Vx})(\frac{x}{xe^{-x}})^n=\frac{V}{n}[x^{n-1}]e^{(n+V)x}\\=\frac{V(n+V)^{n-1}}{n} \]

另一种处理方式是不把 \(k\) 的贡献算进去，在外层枚举 \(k\)，得到的式子为 \([x^n]T^k(x)\)，可以直接拉格朗日反演，或是使用扩展 Cayley 公式直接得到答案 \(kn^{n-k-1}\)。

直接计算即可。

D：简单题，场上做复杂了。

首先第一种操作显然没有用，把所有数字模 \(2\)，线段树维护一下，每个区间的形态都是一段 \(0\)，一段 \(1\)，以及最后一个数字，合并就分讨一下就好了。

复杂度 \(O(n\log n)\)。