数学基础系列(一)----函数、极限、连续性、导数

为了加深在人工智能、深度学习领域的学习,接下来会推出数学基础系列博客,加深自己在这领域的基础知识。

一、函数

1、函数的定义

函数表示量与量之间的关系如:$A=\pi r^{2}$。更普遍的是用$y=f(x)$表示,其中x表示自变量,y表示因变量。函数在x0处取得的函数值$y_{0}=y\mid _{x=x_{0}}=f(x_{0})$。值得一提的是,符号只是一种表示,也可以用其他符号来表示,比如:$y=g(x)$、$y=\varphi (x)$、$y=\psi (x)$等。

2、常用函数形式

分段函数:$f(x)=\left\{\begin{matrix}\sqrt{x}, &x\geqslant 0 \\ -x, & x< 0\end{matrix}\right.$

反函数:$h=\frac{1}{2}gt^{2}\rightarrow h=h(t) \rightarrow t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\rightarrow t=t(h)$

显函数:$y=x^{2}+1$

隐函数:$F(x,y)=0$,$3x+y-4=0$

3、函数特点

奇函数:相对于原点对称的函数$f(-x)=-f(x)$,如$f(x)=x^{3}$,代入计算可得$f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)$。

偶函数:相当于Y轴对称的函数$f(-x)=f(x)$,如$f(x)=x^{2}$,代入计算可得$f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)$。

周期函数:经过一个周期T的变化函数值仍相等$f(x+T)=f(x)$,如常见的三角函数等。

单调性:分为单调递增函数和单调递减函数。

二、极限

1、数列

通俗的讲就是一列有序的数:$u_{1},u_{2},...,u_{n},...$,其中$u_{n}$叫做通项。对于数列$\left \{ u_{n} \right \}$,如果当n无限增大时,其通项无限接近于一个常数A,则称该数列以A为极限或称数列收敛于A,否则称数列为发散。$\lim\limits_{n \rightarrow \infty }u_{n}  = A$,或$u_{n}\rightarrow A(n\rightarrow \infty )$,$\lim\limits_{n \rightarrow \infty }\frac{1}{3^{n}}  = 0$,$\lim\limits_{n \rightarrow \infty }\frac{n}{n+1}  = 1$,$\lim\limits_{n \rightarrow \infty }2^{n}$不存在。

2、极限

符号表示:

$x\rightarrow \infty $表示“当|x|无限增大时” ,

$x\rightarrow +\infty $表示“当x无限增大时” ,

$x\rightarrow -\infty $表示“当x无限减少时” ,

$x\rightarrow x_{0}$表示“当x从x0的左右两侧无限接近于x0时” ,

$x\rightarrow x_{0}^{+}$表示“当x从x0的右侧无限接近于x0时” ,

$x\rightarrow x_{0}^{-}$表示“当x从x0的左侧无限接近于x0时” ,

下面用几个示例图形象地表示极限

 

3、定义

函数在x0的邻域内有定义,有$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0} }f(x)=A$,或$f(x)\rightarrow A(x-x_{0})$。例如$\lim\limits_{x \rightarrow 1 }\frac{x^{2}-1}{x-1}  = \lim\limits_{x \rightarrow 1 }\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=2$

4、左右极限

函数在左半邻域/右半邻域内有定义$(x_{0},x_{0}+\delta ),(x_{0}-\delta,x_{0} )$,有

 

$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0} }f(x)  = A$的充要条件是$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{-} }f(x)  = \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{+} }f(x)=A$

有以下例题,求$f(x)$的极限

$f(x)=\left\{\begin{matrix}
x-1 & x<0\\
0 &x=0 \\
x+1 & x>0
\end{matrix}\right.$

求解可得,当x->0时,f(x)的极限$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{+} }f(x)  = \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{+} }(x+1)=1$,$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{-} }f(x)  = \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{-} }(x-1)=-1$。左右极限存在但不相等,所以f(x)在x->0时极限不存在。

5、极限性质

无穷小:以零为极限,如函数$\lim\limits_{x \rightarrow \infty  }\frac{1}{x}  = 0$,$\frac{1}{x} $是$x \rightarrow \infty $时的无穷小。$\lim\limits_{x \rightarrow 2  }(3x-6)  = 0$,$3x-6 $是$x \rightarrow 2 $时的无穷小。

基本性质:

1.有限个无穷小的代数和仍是无穷小。

2.有限个无穷小的积仍是无穷小。

3.有界变量与无穷小的积仍是无穷小。

4.无限个无穷小之和不一定是无穷小。

 

5.无穷小的商不一定是无穷小。$\lim\limits_{x \rightarrow 0 }\frac{x}{2x} =\frac{1}{2},\lim\limits_{x \rightarrow 0 }\frac{x^{2}}{2x} =0,\lim\limits_{x \rightarrow 0 }\frac{2x}{x^{2}} =\infty $

6.极限有无限小的关系:$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0} }f(x) =A$的充要条件是$f(x)=A+\alpha (x)$,其中$\alpha (x)$是$x \rightarrow x_{0} $时的无穷小。

7.无穷大:并不是一个很大的数,是相对于变换过程来说。$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0} }f(x) =\infty $或$f(x)\rightarrow \infty (x\rightarrow x_{0})$。

8.无穷小和无穷大的关系:在自变量的变换的同一过程中,如果f(x)为无穷大,那么$\frac{1}{f(x)}$为无穷小。

9.无穷小的比较:$\alpha =\alpha (x),\beta =\beta (x)$都是无穷小,$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0} }\alpha (x) =0,\lim\limits_{x \rightarrow x_{0} }\beta (x) =0$。有如下比较。

 

三、连续性

1、函数的连续性

设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义,如果当自变量的改变量$\Delta x$趋近于0时,相应函数的改变量$\Delta y$也趋近于0,则称y=f(x)在点x0处连续。

 

函数的连续性,函数f(x)在点x0处连续,需要满足的条件:1、函数在该点有定义。2、函数在该点极限$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0} }f(x)$存在。3、极限值等于函数值f(x0)

例题,函数$f(x)=\left\{\begin{matrix}x+1 & x\leqslant 0\\ \frac{\sin x}{x} & x> 0\end{matrix}\right.$在x=0处的连续性?

解:判断左右界限是否存在且先等。如下图所示

 

2、函数的间断点

函数f(x)在点x=x0处不连续,则称其为函数的间断点。一共三种情况为间断点:1、函数f(x)在点x0处没有定义。2、函数在该点极限$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0} }f(x)$不存在。3、满足前两点,但是$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0} }f(x)\neq f(x)$。

当x->x0时,f(x)的左右极限存在,则称x0为f(x)的第一类间断点,第一类间断点分为跳跃间断点和可去间断点,否则为第二类间断点

跳跃间断点:$\lim\limits_{x \rightarrow 0^{-} }f(x)$与$\lim\limits_{x \rightarrow 0^{-} }f(x)$均存在,但不相等。

可去间断点:$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0} }f(x)$存在但不等于$f(x_{0})$。

3、例题

函数$f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-3x+2}$的连续性? 

 

四、导数

平均速度很好表示,如v=s/t,但是如何表示瞬时速度呢?

瞬时经过路程:$\Delta s=s(t_{0}+\Delta t)-s(t_{0})$

这一小段的平均路程:$\bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_{0}+\Delta t)-s(t_{0})}{\Delta t}$

当$\Delta t\rightarrow 0$时也就是瞬时速度了,$v(t_{0})=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0 }\bar{v}=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0 }\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0 }\frac{s(t_{0}+\Delta t)-s(t_{0})}{\Delta t}$。

导数:如果平均变化率的极限存在, $\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0 }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0 }\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$,则称此极限为函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)。$y'\mid _{x=x_{0}},\frac{dy}{dx}\mid _{x=x_{0}}$或$\frac{df(x)}{dx}\mid _{x=x_{0}}$。

下面列出常见函数的导数。

 

下面列出导数的运算法则(最后一条不经常用):

 

 

 

posted @ 2019-12-10 22:28  |旧市拾荒|  阅读(...)  评论(...编辑  收藏