2025/10/21 总结

博弈

情况

• 时间：\(30min\)
• 预期：\(100\)
• 实际：\(100\)

知识点

• 贪心

思路

我们考虑有多少个数为奇数即可，我们设所有数之和为 \(sum\)，并且其中有 \(cnt\) 个奇数，所以最后的答案为 \(sum-\lfloor\frac{sum}{3}\rfloor-[cnt\bmod3=1\&cnt\neq1]\)，所以就做完了。

购物

情况

• 时间：\(30min\)
• 预期：\(100\)
• 实际：\(100\)

知识点

• 模拟

思路

我们发现如果两个数 \(b_i,b_j(i\neq j)\) 如果两个都会用，设 \(b_i\) 用 \(x\) 个，\(b_j\) 用 \(y\) 个，所以有三种情况：

1. \(b_i>b_j\)，所以 \(xb_i+yb_j<(x+y)b_i\)，故这种方法一定不为最大值；
2. \(b_i<b_j\)，所以 \(xb_i+yb_j<(x+y)b_j\)，故这种方法一定不为最大值；
3. \(b_i=b_j\)，所以 \(xb_i+yb_j=(x+y)b_i\)，故一定存在一种方法与这种方法的大小一样。

所以我们只可能选一种 \(b\)。所以我们枚举选哪一个 \(b\)，再计算即可。要注意一下，可能只选择 \(a\) 这种情况。

划分

情况

• 时间：\(1h\)
• 预期：\(100\)
• 实际：\(100\)

知识点

• 单调栈，\(\text{dp}\)

思路

我们可以先 \(O(n^2)\) 的 \(\text{dp}\)，得到 \(dp_i=dp_j+w(i+1,j)\)（这里 \(w(x,y)\) 是 \(x\sim y\) 中最小的 \(a\) 的 \(b\) 值），所以我们考虑优化 \(\text{dp}\)。我们可以把 \(dp_i\) 的式子转化一下，\(dp_i=\max_{k=1}^{top}(\max_{j=s_{k-1}+1}^{s_k}dp_j+b_{s_k})\)，所以我们可以用单调栈来处理这个值就行了。

树上计数

情况

• 时间：\(1.5h\)
• 预期：\(100\)
• 实际：\(100\)

知识点

• 长链剖分，\(\text{dp}\)

思路

我们先可以很轻松的写一个 \(O(n^2)\) 的 \(\text{dp}\)，设 \(dp_{0,x,i}\) 为以 \(x\) 为根的子树距离为 \(i\) 的有多少节点，\(dp_{1,x,i}\) 为距离 \(i\) 的节点中有多少个合法的两对，所以我们从上至下 \(\text{dp}\) 即可。我们再思考如何优化，我们观察一下就可以发现这其实是一道长链剖分板题，每次先计算重儿子，再计算轻儿子即可，最后答案为每一个点上的答案。