2025-9-30~10-3 总结

9-30 总结

构造交换

情况

• 时间：\(2h\)
• 预期：\(30\)
• 实际：\(0\)

知识点

• 树状数组

思路

我们先可以写出一个暴力，找最短的路径然后交换即可，现在我们要想的是如何优化计算最短路径的长度这个过程，所以我们可以进行分讨，然后我们就可以发现可以使用树状数组来优化查询时间。

冲刺

情况

• 时间：\(2h\)
• 预期：\(0\)
• 实际：\(0\)

知识点

• 最短路

思路

由于我们不确定操作的方案，所以可以想到其实可以把这个数轴中的段看成一些点，每个点之间是互相联通的，所以我们将这个点与 \(-1,1,-k,k\) 连接。最后跑一个最短路就行了。

10-1 总结

Book Sorting

情况

• 时间：\(2h\)
• 预期：\(\text{AC}\)
• 实际：\(\text{AC}\)

知识点

• \(\text{set}\)

思路

我们将当前数字 \(i\) 的位置插入 \(st1\) 中，然后将数字 \(i\) 本身插入 \(st2\) 中。然后我们可以遍历 \(st1\) 中当前位置之后的元素，如果后续位置对应的数字小于 \(st2\) 中的最小值，则从 \(st1\) 中删除该位置，否则从 \(st2\) 中删除小于等于后续位置对应数字的最大数字。每次循环后计算 \(n\) 减去 \(st2\) 的大小并取最小值即可。

Chords and Checkered

情况

• 时间：\(1.5h\)
• 预期：\(\text{AC}\)
• 实际：\(\text{AC}\)

知识点

• 二分

思路

设一个端点的两个线段不交叉，考虑任意黑色区域，当该区域包含一段弧时，我们为该弧的每个端点分配权重 \(\frac{1}{2}\) 。当该区域不包含弧时，该区域有一个唯一且距离圆心最远的顶点。我们为该点分配权重 \(1\)。关注一个端点，它两边必有一黑色区域，而它有 \(\frac{1}{2}\) 的概率使用，所以，它的的权重的期望是 \(\frac{1}{4}\) 。关注两条任意弦的交点，首先，选中两条弦的概率为 \(\frac{1}{4}\)，如果没有任何其他弦将圆心与这个交点隔开，概率为 \(0\)，它的的权重的期望是 \(0\)，否则，权重为 \(1\) 的概率为 \(\frac{1}{2}\)，它的的权重的期望是 \(\frac{1}{8}\)。若有 \(x\) 个交点，\(y\) 为满足 \(i\) 的 \(a_i+k\le a_{i+1}\) 的数量。这里我们设 \(a_{n+i}=a_i+l\)。没有其他弦将它们与圆心分开的交点数是 \(n-y\)。所以，总的期望值为 \(\frac{n}{2}+\frac{x}{8}-\frac{n}{8}+\frac{y}{8}\)。

10-3 总结

Be Positive

情况

• 时间：\(10min\)
• 预期：\(\text{AC}\)
• 实际：\(\text{AC}\)

知识点

• 贪心

思路

根据题目的描述可以得知，我们必须要把所有的 \(0\) 全部变为 \(1\)，不然乘积肯定等于 \(0\)，然后我们肯定要通过一些操作把 \(-1\) 变成 \(1\) 使得乘积为整数。但因为 \(-1\times-1=1\)，所以如果 \(-1\) 的个数为奇数个则把答案加上 \(2\) 即可。

Unconventional Pairs

情况

• 时间：\(10min\)
• 预期：\(\text{AC}\)
• 实际：\(\text{AC}\)

知识点

• 贪心

思路

我们肯定希望每两个之间的差值尽可能更小。我们考虑如果排序后，相邻的两个分一组，假设最大差值为 \(a_i-a_j=x\)，如果不相邻则 \(a_x-a_j(x>i)\) 或 \(a_i-a_y(y<j)\) 此时两种情况下最大值都比 \(x\) 大，所以由以上证明可以得到一个贪心做法。

MEX rose

情况

• 时间：\(30min\)
• 预期：\(\text{AC}\)
• 实际：\(\text{AC}\)

知识点

• 贪心

思路

首先可以确定的一点的是一定要把所有大小为 \(k\) 的数改成一些数，还要把所有小于 \(k\) 且没有出现过的数补上，所以由于 \(k<n\)，所以答案就为这两个值的最大值。

A and B

情况

• 时间：\(30min\)
• 预期：\(\text{AC}\)
• 实际：\(\text{AC}\)

知识点

• 贪心

思路

我们可以先将 \(a\) 和 \(b\) 的分别提取出来，所以答案为把这些 \(a\)（或 \(b\)）移动到一起的最小操作次数，所以贪心计算即可。

E. Hidden Knowledge of the Ancients

情况

• 时间：\(10min\)
• 预期：\(\text{AC}\)
• 实际：\(\text{AC}\)

知识点

• 滑动窗口

思路

比较板，直接维护两个滑动窗口就好了。

Buratsuta 3

情况

• 时间：\(1.5h\)
• 预期：\(\text{AC}\)
• 实际：\(\text{AC}\)

知识点

• 线段树

思路

由于最多只有两个，所以直接用线段树维护即可。