杨氏矩阵

引入

杨氏矩阵（\(\text{Young tableau}\)），又名杨表，是一种常用于表示论和舒伯特演算中的组合对象。

杨表是一种特殊的矩阵。它便于对称群和一般线性群的群表示和性质研究。杨表由剑桥大学数学家阿尔弗雷德·杨（\(\text{Alfred Young}\)）于 \(1900\) 年首次提出，于 \(1903\) 年被德国数学家弗罗贝尼乌斯（\(\text{Ferdinand Georg Frobenius}\)）应用于对称群的研究。

定义

杨表

杨图由有限个相邻的方格排列而成，其中，各横行的左边对齐，长度从上到下递增。分为英式画法和法式画法，这里只讨论标准杨表。

标准杨表：在杨图的 \(n\) 个方格中任意填入 \(1\) 到 \(n\) 中的相异正整数，各行和各列中的数字皆严格递增。

勾长、臂长、腿长

• 臂长：该格正右边的格子数量；
• 腿长：该格正上方的格子数量；
• 勾长：该格的腿长加臂长再加上 \(1\)；

定理

\(\text{RSK}\)

排列的性质可以由杨表直观地表现出来。\(\text{RSK}\) 插入算法 就提供了一个将杨表和排列联系起来的途径。它由 \(\text{Robinson}\)，\(\text{Schensted}\) 和 \(\text{Knuth}\) 提出。

令 \(S\) 是一个杨表，定义 \(S\leftarrow x\) 表示将 \(x\) 从第一行插入杨表中，具体如下：

1. 在当前行中找到最小的比 \(x\) 大的数 \(y\)。
2. 如果找到了，用 \(x\) 去替换 \(y\)，移到下一行，令 \(x\leftarrow y\) 重复操作 \(1\)。
3. 如果找不到，就把 \(x\) 放在该行末尾并退出。记 \(x\) 在第 \(s\) 行第 \(t\) 列，\((s,t)\) 必定是一个边角。一个格子 \((s,t)\) 是边角当且仅当 \((s+1,t)\) 和 \((s,t+1)\) 都不存在格子。

钩子定理

给定一个杨表 \(S\)，一共有 \(n\) 个方格。那么把 \(1\) 到 \(n\) 这 \(n\) 个数字填到这个杨表中，使得每行从左到右都是递增的，每列从下到上也是递增的。用 \(dim_S\) 表示这样的方法个数。所以可以得到：

\[dis_S=\frac{n!}{\Pi_{x\in S}hook_x} \]

其中 \(hook_x\) 表示 \(x\) 的勾长。对于每个杨表之间也有规律：

\[f(n)= \begin{cases} 1& n\le 1\\ f(n-1)+(n-1)\times f(n-2)& n>1 \end{cases} \]

所以 \(n\) 个格子的杨表个数为：

\[1,1,2,4,10,26,76,232,764,2620,9496,\cdots \]