2025-8-9 总结

图论 \(1\)

G - National Property

情况

• 时间：\(40min\)
• 预期：\(\text{AC}\)
• 实际：\(\text{AC}\)

知识点

• \(\text{2-SAT}\)

思路

我们发现这道题相邻两个字符串 \(s_{i-1}\) 和 \(s_i\) 有以下几种关系：

1. \(s_{i-1}\) 为 \(s_i\) 的前缀。不用更改，一定可行。
2. \(s_i\) 为 \(s_{i-1}\) 的前缀。一定不存在可行方案。
3. 设 \(j\) 为 \(s_{i-1}\) 和 \(s_i\) 第一个不相同的位置，\(x\) 为 \(s_{i−1,j}\)，\(y\) 为 \(s_{i,j}\)。

• \(x<y\)。此时 \(x'<y'<x<y\)，可以发现，若 \(x\) 为小写，则 \(y\) 一定为小写；若 \(y\) 为大写，则 \(x\) 一定为大写，转换一下形式就变成了 \((x\to y)∧(\lnot y\to\lnot x)\)。
• \(x>y\)。此时 \(y'<x'<y<x\)，可以发现，只有当 \(x\) 为大写，\(y\) 为小写时才能成立。转换一下形式就变成了 \(\lnot x∧y\)。

所以只需要转化一下，然后建图跑 \(\text{2-SAT}\) 即可。

分析

一开始想到了用拓扑排序来做这一道题，也就是把相邻两个字符串第一个不同的位置相连，然后再排序。结果发现写错了，并且有一堆情况需要讨论。所以就重新思考，想到了以上的方法。

树上游戏 \(1\)

H - Palindromes in a Tree

情况

• 时间：\(30min\)
• 预期：\(\text{AC}\)
• 实际：\(\text{AC}\)

知识点

• 点分治，状压

思路

这道题可以采用点分治，对于偶回文串，要求每个字母的出现次数为偶数，对于奇回文串，要求有且仅有一个字母的出现次数为奇数次，这个可以拿二进制记录状态，然后就是正常的点分治操作。统计答案是就是对 \(x\) 到分治中心 \(w\) 这条链加，打个 \(tag\) 最后统计即可。

分析

一开始就想到了枚举中点，然后求解，但是复杂度很大，然后发现只有 \(20\) 个字母，然后可以状压，所以从前面和后面分别状压一次，看有没有相等的即可。

I - Road Projects

情况

• 时间：\(1h\)
• 预期：\(\text{AC}\)
• 实际：\(\text{AC}\)

知识点

• 树形 \(\text{dp}\)

思路

首先把 \(1\to n\) 的链提取出来，显然这一条链上会挂很多子树。考虑链上的一个节点 \(x\) 以及它的子树，显然如果这个子树内有大于等于 \(3\) 个节点（包括 \(x\)）则在这个子树内一定能选出两个没有直接连边的点，每次查询只要连这两个点即可，于是答案就是原树上 \(1\to n\) 的最短路。现在我们考虑不存在这种子树的情况记 \(dis_x\) 为链上节点 \(x\) 距离一号节点的距离，\(f_x\) 为 \(x\) 子树内距离 \(x\) 最远的那个点离 \(x\) 的距离。假设当前选到了一个点 \(i\)，我们只要找出一个 \(j<i\)，使得 \(f_j+f_i+dis_j+(dis_n+dis+i)+x\) 最大即可，不看所有与 \(j\) 无关的量，于是发现只要维护 \(f_j+dis_j\) 的最大值，也就是维护一个前缀最大值，用单调栈扫一遍即可。

树上问题 \(2\)

E - Tenzing and Tree

情况

• 时间：\(30min\)
• 预期：\(\text{AC}\)
• 实际：\(\text{AC}\)

知识点

• \(\text{dfs}\)，贪心

思路

我们考虑枚举重心 \(p\)，则此时最小的答案就是选 \(dep\) 最小的 \(k\) 个点作为黑色点。这里不需要考虑选出来后发现重心不是 \(p\) 的问题，因为重心错误只会导致答案更小。于是我们直接钦定重心，\(\text{dfs}\) 计算深度就可以了。

分析

其实一开始并没有思路，然后画了一下图，发现当一个点是树的根节点时，深度最小的 \(k\) 个点作为黑色点一定最优，所以想到了这种做法。