二进制位运算

🥥二进制位运算基础及其应用：

🍩一、基本位运算符：

1.& 按位与：（从左到右）二进制中对应位都是1则为1，否则为0；

2. | 按位或：（从左到右）二进制中对应位有一个是1则为1，否则为0；

3. ^按位异或：（从左到右）二进制中对应位相同则为0，不同为1；

因此我们可以得出异或的一个特性：x^=n; 若n的对应二进制位为0，则无影响，若为1则将x的对应位取反

4. <<左移：右侧空位补0，二进制位数变化。

                   对于一个数x，x<<n等于x*2ⁿ

5. >>右移：左侧空位补符号位，二进制位数不变。

                   对于一个数x，x>>n等于x/2ⁿ

6. ~ 按位非：此运算比较复杂，在此详细解释：

    ~x等于将x的补码取反（包括符号位）后作为~x的补码，然后最终返回~x的原码

    例：

    1.对于正数8：

    ~8=-9;

    8的二进制原码：00001000-->8的补码00001000-->~8补码11110111-->

    ~8补码-1，再取反求得原码为：10001001-->所以~8=(10001001)₂=(-9)_10。

    2.对于负数-3：

    ~-8=7;

    -8的二进制原码：10001000-->-8的补码11111000-->~-8补码00000111-->

    ~-8原码即为：00000111-->所以~-8=(00000111)₂=(7)_10。

可得出规律：任一个数的非运算都等于它的相反数减一，包括0（~0=-1）

 

🥔二、关于位运算与二进制的实际应用

1.如何将x二进制的第n位取反：

x^=2^n-1;//利用异或的性质

若当前位置为1，则相当于原数减2^n-1，反之则相当于加上2^n-1

具体代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main(){
    int x=333,y=878;
    cout<<(x^qpow(2,3,100))<<endl;//将x的低4位取反
    cout<<(y^32)<<endl;//将x的低6（32=2的5次方）位取反
    return 0;
}

1.求n的二进制表示中第k位（从左到右）数字是什么:

/*
1.先将第k位移到最后一位n >> k
2.看最后一位是几 & 1
*/
int bsk(int n,int k){//此函数则返回n二进制的第k位
	return n>>k&1;
}

2.判断x的二进制最后一位：x&1

//例如判断a的二进制最后一位，通过这种方式也可以判断奇偶（0则偶，1则奇）
int a=100;
cout<<(a&1)<<endl;

3.返回x的二进制最低位1出现时所对应的值(lowbit)：

//lowbit返回x的二进制最低位1出现时所对应的值：
//在c++中 x & -x = x & (~x + 1)
int lowbit(int x){
	return x&-x;
}

4.上述bsk函数的应用：

#include<iostream>
using namespace std;
int bsk(int n,int k){//此函数则返回n二进制的第k位
	return n>>k&1;
}
int main(){
    //输出1024二进制的第1~9位:
	for(int i=1;i<=10;i++){
		cout<<bsk(1024,i)<<' ';
	}
	cout<<endl;
	//截取18767二进制的第3~12位并按原二进制顺序输出:
	for(int i=12;i>=3;i--){
		cout<<bsk(18767,i)<<' ';
	}
	cout<<endl;
	//输出23456的二进制：
	int top=0,b[1000];
	int t=23456;
	while(t!=0){
		b[top++]=t&1;
		t>>=1;
	}
	while(top>=0){
		cout<<b[--top];
	}
	cout<<endl;
}

5.龟速乘：

//龟速乘：(可防止数据溢出)
ll mul(ll a,ll b,ll mod=1000000000){//求a乘b,mod表示控制输出后n位（不包括前导0），则mod为1后面跟n个0
	ll ans=0;
	while(b!=0){
		if(b&1){//b的二进制位（最后一位）不为0，则进行
			ans=(ans+a)%mod;
		}
		a=(a<<1)%mod; //等价于a*2%mod
		b>>=1; 
	}
	return ans%mod;
}

6.快速幂：速度快，时间复杂度为O(logn).

ll qpow(ll a,ll b,ll mod){//求a的b次方,mod表示输出后n位（不包括前导0），则mod为1后面跟n个0
	ll ans=1;
	while(b!=0){
		if(b&1){//b的二进制位（最后一位）不为0，则进行
			ans=mul(ans,a)%mod;//这里用到了上面的龟速乘，防止数据溢出
		}
		a=mul(a,a)%mod;
		b>>=1; 
	}
	return ans%mod;
}

 快速幂和龟速乘原理都是一致的，都是利用二进制分解运算

7.lowbit的应用：

//统计二进制n中1的个数：
	int ans=0;
	int n=240;
	while(n>0){
		n-=lowbit(n);
		ans++;
	}
	cout<<ans<<endl;

  原理为：先用原数计算出lowbit(x)，然后用原数减去这个数，再不断lowbit。

  这也是树状数组的实现原理。
  基于这个操作我们可以将分解出一个整数可以由哪些的2的幂相加构成。比如11110000也就是240=2^4+2^5+2^6+2^7。

 

以上就是二进制与位运算的全部内容了^v^