动态规划（一）Fibonacci数列

动态规划（DP）与分治法类似，也是将待求解问题分成若干子问题。不同的是，适用于动态规划求解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相独立的。而用分治法求解时往往耗费指数时间，有时有些子问题被重复计算了很多次。这样浪费了大量的时间和空间。此时就需要用到动态规划：用一个表记录所有已解决的子问题的答案。不管以后是否用到，只要计算过，就填入表中。在需要时找出已求得的答案，这样就避免了大量重复的计算

 

动态规划适用于解最优化问题，通常有3个步骤：

（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征

（2）递归的定义最优解（找出递归式）

（3）以自底向上的方式计算出最优解

 

一、基本要素

1.最优子结构

当前问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质

 

2.重叠子问题

用递归算法自顶向下解此问题时，每次产生的子问题并不总是新的问题。对于每个子问题只解一次，然后将子问题的解保存起来，当再次解子问题时，只需要查看其结果。

 

 

*二、备忘录方法

与动态规划相似，备忘录方法也保存子问题的答案。与动态规划不同的是，备忘录方法自顶向下的，而动态规划是自底向上的

一般来讲，当问题的子问题都至少要解一次时，动态规划要优于备忘录方法。优势在于，动态规划没有任何多余的计算

当问题中部分子问题不需要求解时，使用备忘录方法更好。因为该方法只解出那些需要求解的问题

 

三、Fibonacci数列

n>=2时，f(n)=f(n-1)+f(n-2)（递归表达式），f(0)=1，f(1)=1。

 

算法实现

def Fibonacci(n):

    if n < 2:

        return n

    visit = [1,1]

    for i in range(2, n+1):

        visit.append(visit[i-1] + visit[i-2])

    return visit[n]

 

算法分析

这个数列可以用递归的方式进行求解 return f(n-1) + f(n-2)

但是用递归的解法的时间复杂度太大，T(n)=O(n!)。而使用动态规划去解的时间复杂度T(n)=O(n)，显然动态规划解这道题效率更高