算法day43-图论（1）

目录

1. 理论基础
2. 深搜理论基础
3. 所有可达路径
4. 广搜理论基础

一、理论基础

1.  图的种类

　　有向图、无向图、权值

2. 度

　　度【无向图】：有多少条边

　　出度、入度【有向图】：箭头指出去、箭头指回来

　3. 连通性

　　连通图【无向图】：图里面任何一个节点可以到达其他所有节点

　　强连通图：【有向图】：图里面任何一个节点可以到达其他所有节点

　　连通分量【无向图】：极大连通子图，一个子图里面任何一个节点可以到达任何其他节点

　　强连通分量【有向图】

4. 图的构造（很重要！！）

　　朴素存储：二维数组，一一对应，把每条边两个节点记录下来

　　邻接矩阵：二维数组，有相连的就标记为1（缺点是当节点数较多时，占用内存空间）

　　邻接表：数组+链表（适合节点很多，边很少）

5. 图的遍历

　　DFS、BFS

二、深搜理论基础

 　　深搜的概念、流程。

　　深搜的伪代码。

三、所有可达路径

 98. 所有可达路径

 方法一：邻接矩阵存储

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    static List<List<Integer>> result = new ArrayList<>(); // 收集符合条件的路径
    static List<Integer> path = new ArrayList<>(); // 1节点到终点的路径

    public static void dfs(int[][] graph, int x, int n) {
        // 当前遍历的节点x 到达节点n
        if (x == n) { // 找到符合条件的一条路径
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历节点x链接的所有节点
            if (graph[x][i] == 1) { // 找到 x链接的节点
                path.add(i); // 遍历到的节点加入到路径中来
                dfs(graph, i, n); // 进入下一层递归
                path.remove(path.size() - 1); // 回溯，撤销本节点
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int n = scanner.nextInt();
        int m = scanner.nextInt();

        // 节点编号从1到n，所以申请 n+1 这么大的数组
        int[][] graph = new int[n + 1][n + 1];

        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int s = scanner.nextInt();
            int t = scanner.nextInt();
            // 使用邻接矩阵表示无向图，1 表示 s 与 t 是相连的
            graph[s][t] = 1;
        }

        path.add(1); // 无论什么路径已经是从1节点出发
        dfs(graph, 1, n); // 开始遍历

        // 输出结果
        if (result.isEmpty()) System.out.println(-1);
        for (List<Integer> pa : result) {
            for (int i = 0; i < pa.size() - 1; i++) {
                System.out.print(pa.get(i) + " ");
            }
            System.out.println(pa.get(pa.size() - 1));
        }
    }
}

方法二：邻接表存储

import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    static List<List<Integer>> result = new ArrayList<>(); // 收集符合条件的路径
    static List<Integer> path = new ArrayList<>(); // 1节点到终点的路径

    public static void dfs(List<LinkedList<Integer>> graph, int x, int n) {
        if (x == n) { // 找到符合条件的一条路径
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i : graph.get(x)) { // 找到 x指向的节点
            path.add(i); // 遍历到的节点加入到路径中来
            dfs(graph, i, n); // 进入下一层递归
            path.remove(path.size() - 1); // 回溯，撤销本节点
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int n = scanner.nextInt();
        int m = scanner.nextInt();

        // 节点编号从1到n，所以申请 n+1 这么大的数组
        List<LinkedList<Integer>> graph = new ArrayList<>(n + 1);
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            graph.add(new LinkedList<>());
        }

        while (m-- > 0) {
            int s = scanner.nextInt();
            int t = scanner.nextInt();
            // 使用邻接表表示 s -> t 是相连的
            graph.get(s).add(t);
        }

        path.add(1); // 无论什么路径已经是从1节点出发
        dfs(graph, 1, n); // 开始遍历

        // 输出结果
        if (result.isEmpty()) System.out.println(-1);
        for (List<Integer> pa : result) {
            for (int i = 0; i < pa.size() - 1; i++) {
                System.out.print(pa.get(i) + " ");
            }
            System.out.println(pa.get(pa.size() - 1));
        }
    }
}

四、广搜理论基础

1. 广搜的概念

广度优先搜索（Breadth-First Search，简称 BFS）是一种图的遍历算法，从起点开始，一层一层地向外扩展搜索，直到遍历完所有可以到达的节点。

它的本质是使用队列（Queue）来保证节点的访问顺序：先进先出，每次从队首取出一个节点，将它未访问的邻接节点加入队尾。

BFS 常用于：

• 求最短路径（单位边权情况下）

• 判断连通性、层次结构

• 拓扑排序等问题

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2. 广搜的特点

• 按“距离起点的远近”逐层扩展

• 通常需要配合一个 visited[] 数组，防止重复访问

• 对于无权图最短路径问题非常高效

• 可用于搜索所有从起点出发的最短可达路径

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3. BFS 的伪代码框架

函数 BFS(图 g, 起点 s):
    创建队列 queue，初始加入起点 s
    标记 s 为已访问

    当队列不为空：
        当前节点 cur = 队首元素出队
        对于 cur 的每个相邻节点 next：
            如果 next 未被访问：
                将 next 入队
                标记 next 为已访问

4. Java 中 BFS 的实现要点

• 使用 Queue<Integer> 作为主队列结构（推荐 LinkedList 实现）

• 图的存储结构通常使用邻接表 List<List<Integer>> 或邻接矩阵 int[][]

• 搭配一个布尔数组 visited[] 或整数数组 dist[] 来记录访问状态或层数