2023-6-14

C. Helping the Nature

题意：

给你一个长度为 \(n\) 的数组，每次操作你可以选择以下三种类型：

• 让 \([1,i]\) 的所有数减一，\((1\leq i \leq n)\)
• 让 \([i,n]\) 的所有数减一，\((1\leq i \leq n)\)
• 让所有数加一

请问最少操作几次，可以使得数组所有元素全变成 \(0\)

数据范围：
\(1\leq n \leq 2*10^5\)，\(-10^9\leq a_i \leq 10^9\)

\(Tutorial:\)

首先我们直接考虑，不好考虑，但对于这种区间加减某个数的问题，我们可以往差分考虑，把区间加减，改成单点加减
我们设 \(b\) 为 \(a\) 的差分数组，显然 \(a\) 的所有元素为 \(0\) 等价于 \(b\) 的所有元素为 \(0\)
现在我们看看三种类型的操作，对应到差分数组的操作是啥：

• \(b[1]--\)，\(b[i+1]++\)
• \(b[i]--\)，\(b[n+1]++\)
• \(b[1]++\)，\(b[n+1]--\)

由此我们可以得到最小操作次数就为：\(f_+(b)+f_-(b)+|b_1-f_-(b)|\)
其中 \(f_+(b)\) 表示 \(b\) 数组里面的所有正数之和，\(f_-(b)\) 表示 \(b\) 数组里面所有负数的绝对值之和

---

\(Code:\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 2e5 + 10;
LL a[N], b[N];

void solve() {

    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        if (i == 1) b[i] = a[i];
        else b[i] = a[i] - a[i - 1];
    }

    LL ans = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (b[i] > 0) {
            ans += b[i];
        } else {
            ans += -b[i];
            b[1] -= -b[i];
        }
    }

    ans += abs(b[1]);

    cout << ans << '\n';
    
}

int main() {

    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int t;
    cin >> t;
    //t = 1;
    while (t--) {
        solve();
    }    


    return 0;
}