给两个皇后找位置(数学递推)

UVA 11538

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=2533

题解：在n * m的棋盘上给两个皇后找位置。横着找，竖着找，斜着找。

先说个简单的东西：在一行n个棋盘给两个皇后找位置，确定一个皇后，再给另一个皇后找位置。第一个皇后有n个位置可选 ，确定后第二个皇后有n - 1个位置可选，所以总共有 n* (n - 1)种解。

然后我们可以将这个问题转化为寻找棋盘上有多少这样的行，每行有多少个位置，就简单了。

先预处理一下，将 i 个格子有  i * (i - 1)种解法存在数组 a[i] 中。

 

先横着找：一行m个位置，共n行，所以有 n * a[m]种解法。

再竖着找：一列n个位置，共m列，所以有 m * a[n]种解法。

斜着找：这个就稍微麻烦一些了，不过没关系，慢慢来。

         先找个规律：从左上角开始画倾斜角为45度的斜线，我们可以发现，这些斜线经过的格子个数有个规律：1，2，3，4，···，n - 1，n ······n，n - 1，···，4，3，2，1

         所以我们可以写个从1到 n - 1的循环，将每条斜线对应的解的个数相加，结果  * 2，就是两头不相等斜线的解了。

         接着考虑中间有多少个n ，画图很容易发现是 (m - n) + 1 个。

         注意！这两个结果相加的解仅仅是一个方向的，还有倾斜角为135度的情况，所以这两个结果相加 * 2才是斜着找最后的结果。

最后，将三种找法的结果相加即为所求。

 

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<stack>
#define ll long long
using namespace std;

ll a[1000005] = {0};

int main()
{
    
    a[1] = 0;
    for(ll i = 2; i <= 1000000; i++)
    {
        a[i] = i * (i - 1);
    }
    
    ll n, m;
    while(cin >> n >> m && n && m)
    {
        if(n > m) swap(n, m);
        ll ans = m * a[n];//竖着放 
        ans += n * a[m];//横着放 
        ans += (m - n + 1) * 2 * a[n];//斜着放而且是斜向格子数==n时 
        for(ll i = 2; i < n; i++)
        {
            ans +=  2 * 2 * a[i];//斜着放的不相等斜线
        }
        
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}